一．伴随矩阵的定义及符号
伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的，
1.代数余子式的定义
为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式
11111..................j n
i ij
in ni nj nn
a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij
ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。

2.伴随矩阵的定义
设ij A 是矩阵
11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
中元素ij a 的代数余子式，矩阵 112111222
2*12.........n n n n
nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 称为A 的伴随矩阵。

二．伴随矩阵的性质
1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E == 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： **000000d d AA A A A E d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中d A =。

这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。

2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质
（1）A 可逆当且仅当*
A 可逆。

证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知
*
A A E A
⋅= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A
A
-= 即*11n A A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 故*A 0≠，从而*A 可逆
（2）1*n A A
-=，其中A 是n ⨯n 矩阵 证明：由**AA A A A E ==,知*n
A A A = ①.当时，有及，故
②．当A时，知由引理得秩（A）+秩（）且秩（A），则秩（）
综上。