矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义 设()nn ija A ⨯=,则它的伴随矩阵()n n ijb A ⨯=*,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式.2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则*11A AA =-. 2.3 ()()TTA A **=.证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1*-=T T T A A A =()TA A 1-另一方面， ()()TTA A A 1*-==()TA A 1-由上两式推出 ()()TTA A **=.2.4 ()()1**1--=A A .证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A AA A A 1111*1==---- 又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11 故 *A 也可逆，且()A AA 11*=- 从而 ()()1**1--=A A .2.5 ()*1*A a aA n -= (a 为实数).证 设()n n ij a A ⨯=，再设 ()()n n ij b aA ⨯=*，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1*A a aA n -=.2.6 1*-=n AA ()2≥n .证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 11*--==n nAA A A当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A所以.0*=A 从而也有 1*-=n A A所以对任意n 阶方阵,A 都有.1*-=n AA2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A则秩0*=A .证 当秩,0≠⇒=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==nA I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=⇒-=A n A 0*==I A AA从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A当秩2-=n A ⇒0*=A 所以秩0*=A同理秩2-<n A 时,秩0*=A . 2.8 ()A AA n 2**-=.证 当秩n A =时，A A ,0≠可逆，用1-A 左乘（1）式两边可得1*-=A A A （1） 在（1）式中用A 换*A 得()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛== （2） 当秩1-≤n A 时，则秩0,1*=≤A A 从而秩()A AA n 2**0-== （3）综合（2）（3）两式，即证()A AA n 2**-=.2.9 若B A ,为n 阶可逆矩阵，则()***A B AB =.证 当()()n B r A r ==时，由()()**111*A B A A B B AB AB AB ===---当()1-<n A r 时，显然有()***0A B AB ==即 ()***A B AB =当(),1-=n A r 则存在初等矩阵,,,,11t s Q Q P P 使得 t s Q Q A P P A 111=这里().0,11-=n E diag A 直接验算可知，若P 是任意初等矩阵，C 是任意方阵，则 ()()*1*1***,CA C A P C PC ==于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s =()*1*112P B Q Q A P P t s ==()*1**11P P B Q Q A s t =()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t =但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t =()*1*1*11P P Q Q A P s t s -==()*111t s Q Q A P P =*A = 于是 ()***A B AB =2.10 设A 是阶正定矩阵，则*A 是正定矩阵. 证 因为A 是n 阶正定矩阵，则A A T =，且A 的特征值()n i i 2,1,0=>λ又()()**T TA A ==*A ，故*A 为对称矩阵，且*A 的特征值为()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若A 是正交矩阵，则*A 是正交矩阵. 证 因为是正交矩阵，则,12=A I A A T =于是()()()()()I I AA A A A A A A A A A TTTT=====------1111211**故*A 也是正交矩阵.2.12 若矩阵A 与B 合同，且B A ,都可逆，则*A 与*B 合同.证 设存在可逆矩阵,P B AP P T = （4） 又B A ,都可逆，对（4）取逆，则有()1111----=B P A P T即 11--=B C A C T （5） 其中 ()TP C 1-=再对(4)取行列式有B A P =2（6） 则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T = 其中C P Q =是可逆矩阵 故 *A 与*B 合同2.13 若矩阵A 与B 相似，且B A ,都可逆,则*A 与*B 相似. 证 设存在可逆矩阵,P B AP P =-1 由 I B BB =* ，有1*-=B B B ()111---=AP P AP P P A P A 11--=P A A P 11--=P A P *1-=所以*A 与*B 相似.2.14 若*A 与*B 相似，则*A 与*B 有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，秩.2．15若*A 与*B 相似，且*A ，*B 都可逆，则A 与B 不一定相似. （A 与B 分别为*A 与*B 的原矩阵）证 因为*A 与*B 的秩都是n ，所以*A 与*B 都有1-n 个原矩阵（(),1*-=A A i α()1*-=B B i β，1,2,1-=n i ，其中i i βα,分别是*A ，*B 的所有1-n 次方根.）设秩n A =*且有原矩阵A ，由2.2知()1*-=A A A由2.6知 .1*-=n AA 即 1*-=n A A设*A 的所有1-n 次方根121,,-n ααα ，则有(),1*-=A A i α1,2,1-=n i同理B 也得证.所以A 与B 不一定相似.参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7). [3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10). [4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract:This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words: adjoint matrix,determinant, transpose, rank, similar matrix, positively definite matrix。