上海市杨浦区2021届高三一模数学试卷2020.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集U =R ，(,2)A =-∞，则UA =2. 设复数12i z =-（i 是虚数单位），则||z =3. 若关于x 、y 的方程组2438x y x ay +=⎧⎨-=⎩无解，则实数a =4. 已知球的半径为2，则它的体积为5. 若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-互相垂直，则实数m =6. 已知5sin 5α=-，(,)22ππα∈-，则sin()2πα+= 7. 已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 （结果用数值表示）8. ()f x 是偶函数，当0x ≥时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为 9. 方程2221log log (3)x x +=-的解为10. 平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*n ∈N ）是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞=11. 如图所示，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =， 分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下 而上依次记作1E ，2E ，⋅⋅⋅，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋅⋅⋅，7F ，满足2i j AE AF ⋅≤（*,i j ∈N ，1,7i j ≤≤）的有序数对(,)i j 共有 对12. 已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足1(1)3f -=-，且 对于任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=-，()y f x =的反函数为1()y f x -=，若将()y kf x =（其中常数0k >）的反函数的图像向上平移1个单位，将得到函数1()y f x -=的图像，则实数k 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A.11a b > B. 22ac bc > C. ac bc > D. c c a b< 14. 下列函数中，值域为(0,)+∞的是（ ） A. 2y x = B. 2y x=C. 2x y =D. 2|log |y x = 15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ） A. 4812C - B. 488C - C. 486C - D. 484C - 16. 设集合{|,0}x A y y a x ==>（其中常数0a >，1a ≠），{|,}k B y y x x A ==∈ （其中常数k ∈Q ），则“0k <”是“AB =∅”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===，点D 、1D 分别是棱AC 、11A C 的中点.（1）求证：D 、B 、1B 、1D 四点共面； （2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小.18. 设常数k ∈R ，2()cos 3sin cos f x k x x x =+，x ∈R . （1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()1f A =，7a =，3b =，求△ABC 的面积S .19. 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10,24]x ∈（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米），其中当[10,20]x ∈时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、Q ），当[20,24]x ∈时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P .（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍 到无人机，求拍摄视角θ的最小值.（精确到0.1°）20. 设1A 、2A 分别是椭圆222:1x y aΓ+=（1a >）的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程； （2）设2a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求△2F BQ 的面积；（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点， 且C 、D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.21. 设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n ∈N . （1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）设102a π<≤，求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m ≤≤+时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0，若对 任意满足条件06n a π<≤（121n m ≤≤+）的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不 超过100π，求正整数m 的最大值.参考答案一. 填空题1. [2,)+∞2.3. 32- 4. 323π5. 66.7. 11208. (,1)(1,)-∞-+∞9. 3x = 10. 11. 18 12. 3二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. A三. 解答题17.（1）证明：∵点D 、1D 分别是棱AC 、11A C 的中点，∴1DD ∥1CC ， ……2分 ∵1CC ∥1BB ，∴1DD ∥1BB ， ……4分 ∴D 、B 、1B 、1D 四点共面. ……6分 （2）作111C F B D ⊥，垂足为F ， ……8分 ∵1BB ⊥平面111A B C ，1C F 平面111A B C ， ∴直线1BB ⊥直线1C F ，∵1C F ⊥直线11B D 且1BB 与11B D 相交于1B ， ∴直线1C F ⊥平面11DBB D ， ……10分∴即1C BF ∠为直线1BC 与平面11DBB D 所成的角， ……12分在Rt △1C BF 中，1BC =1C F =，1sin C BF ∠=，直线1BC 与平面11DBB D 所成的角为 ……14分18.（1）由题意：(0)0f k ==， ……2分检验()cos f x x x =，对任意x ∈R 都有())cos()cos ()f x x x x x f x -=--==-， ……5分 ∴()f x 是奇函数，∴0k =. ……6分（2）2()cos cos 1f A A A A =+=，整理得：1sin(2)62A π+=， ……8分∵A 是三角形的内角，∴3A π=， ……10分由余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=，即219726c c+-=，整理得：2320c c -+=，解得：1c =或2c =， ……12分∴1sin 2S bc A ==. ……14分 19.（1）[10,20]x ∈时，设2(14)8y a x =-+，将(10,24)M 代入得：1a =， ……2分 ∴2(14)8y x =-+， ……3分[20,24]x ∈时，∵(20,44)Q ，(24,24)N ，∴5144y x =-+， ……5分 ∴2(14)8[10,20]5144(20,24]x x y x x ⎧-+∈=⎨-+∈⎩. ……6分（2）设A 的仰角为α，俯角为β，∵(20,44)Q ，(0,24)A ，∴仰角α最小为45°， ……8分24tan yxβ-=……10分 224(28204)x x x --+=，[10,20]x ∈，18028()28x x=-+≤- ……12分∴俯角β最小为arctan(2849.4-≈︒， ……13分 ∴θ最小为94.4°. ……14分20.（1）1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,1)B ， ……1分1(,1)A B a =，2(,1)A B a =-，21214A B A B a ⋅=-+=-，解得：25a =， ……3分即椭圆Γ的方程为2215x y +=. ……4分 （2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ， ……6分设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，1Q x =-，代入椭圆方程得：Q y =(Q -， ……8分221(1212F BQBF MBQMSSS=+=⋅=. ……10分 （3）证明：由题意1(3,0)A -，2(3,0)A ，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1:(3)9mPA y x =+，与椭圆方程联立消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-=， ……12分由韦达定理223279C m x m -+=+，2223276(,)99m m C m m -+++，同理222332(,)11m mD m m --++，…14分 当C D x x =，即22223273391m m m m -+-=++，即23m =时，直线CD方程为32x =，……15分 当C D x x ≠时，直线22222433:()13(3)1m m m CD y x m m m ---=-+-+， 化简得：243()3(3)2m y x m =--，恒过点3(,0)2， ……16分综上：直线CD 恒过点3(,0)2.21.（1）23cos42b π==-，31cos 32b π==，公比为2q =， ……2分 由2213b b b =⋅解得：11b =，数列{}n b的通项公式为1(n n b -=. ……4分（2）证明：反证法：设存在，则21π02a a <<<，此时21cos cos 0a a >>，公比21cos 1cos a q a =>， ……6分 11cos cos ()n n a a q -=⋅，考虑不等式11cos 1n a q -⋅>， ……8分当11log (cos )q n a >-时，即11[1log (cos )]q n a ≥+-时， 有cos 1n a >（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 这与()cos f x x =的值域为[1,1]-矛盾， ……10分 ∴假设不成立，得证.（3）∵121()(21)02m b b m +++=，∴1210m b b ++=，由等差数列性质221210i m i m b b b b +-++=+=（11i m ≤≤+， i *∈N ）， ……11分即22cos cos 0i m i a a +-+=，特别地，10m b +=， ……12分 现考虑21m S +的最大值，为使21m S +取最大值，应有[5,6]n a ππ∈， 否则在21m S +中将n a 替换n a '，且cos cos n n a a '=，[5,6]n a ππ'∈， 将得到一个更大的21m S +， ……14分 由22cos cos 0i m i a a +-+=可知：22112112i m i a a ππ+-+=⋅=，特别地，1112m a π+=， 于是21max 11(21)11()(11)10022m m S m ππππ++⋅=⋅+=≤， ……16分 解得：18922m ≤，∴m 的最大值为8. ……18分。