“双一流”高效自主招生好题精选
5.功、能
1．(清华大学自主招生)在光滑的水平桌面上有两个质量均为m的小球，由长度为2l的拉紧细线相连。

以一恒力作用于细线中点，恒力的大小为F，方向平行于桌面。

两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。

在两球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量为()
A. Fl
2m B.
Fl
m
C．2 Fl
m D.
2Fl
m
2．(“北约”自主招生)如图，一个质量为2m的球和一个质量为m的球，用长度为2r的轻杆连在一起，两个球都限制在半径为r的光滑圆形竖直轨道上，轨道固定于地面。

初始时刻，轻杆竖直，且质量为2m的球在上方；此时，受扰动两球开始运动，当质量为2m的球运动到轨道最低点时，速度为________。

轨道对两球组成的系统的力为________。

3．(“北约”自主招生)如图所示，与水平地面夹角为锐角的斜面底端A向上有三个等间距点B、C和D，即AB＝BC＝CD。

小滑块P以初速v0从A出发，沿斜面向上运动。

先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑块到达D位置刚好停下，而后下滑。

若设置斜面AB部分与滑块间有处处相同的摩擦，其余部位与滑块间仍无摩擦，则滑块上行到C位置刚好停下，而后下滑。

滑块下滑到B位置时速度大小为________，回到A端时速度大小为________。

4．(“北约”自主招生)两个相同的铁球，质量均为m，由原长为L0、劲度系数为k的弹簧连接，设法维持弹簧在原长位置由静止释放两球(两球连线竖直)。

设开始时下面铁球距离桌面的高度为h，而且下面铁球与桌面的碰撞为完全非弹性的碰撞。

(1)求弹簧的最大压缩量x。

(2)如果使铁球放在光滑水平面上绕过质心的竖直轴转动，此时弹簧长度变为L，求转动的角速度ω。

5．(上海交通大学自主招生)如图所示，甲、乙两个小球分别固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的水平固定转动轴，且OA＝OB＝L，系统平衡时，OA与竖直方向的夹角为37°。

(1)求甲、乙两个小球的质量之比。

(2)若将直角尺顺时针缓慢转动到OA处于水平位置后由静止释放，求开始转动后B球可能达到的最大速度和可能达到的最高点。

6.电动机带动电梯上下时要加一配重，其装置如图所示。

A、B是两个定滑轮，C是动滑轮，不计滑轮摩擦和重量，配重的质量m＝1 000 kg，电梯载人后的总质量M＝3 000 kg。

设电梯向上为正方向，取g＝10 m/s2。

求：
(1)电梯向上匀速运动，速度为v1＝3 m/s，电动机的输出功率。

(2)电梯向上运动，加速度为a＝－0.5 m/s2，速度为v2＝3 m/s时电动机的输出功率。

7．(“华约”自主招生)(1)质量为1 t的汽车在10 s内由静止加速到60 km/h，若不计空气阻力，发动机的平均输出功率约多少？
(2)汽车速度较大时，空气阻力不能忽略，将汽车模型简化为横截面积约1 m2的长方体，并以此模型估算汽车以60 km/h行驶时因克服空气阻力所增加的功率。

(空气密度ρ＝1.3 kg/m3)
(3)数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。

假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其他阻力与速度无关，估算其他阻力的大小。

8．(北京大学自主招生)长为6L、质量为6m的匀质绳，置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外，另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块，如图所示，木块在AB段与桌面无摩擦，在BE段与桌面有摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略。

初始时刻用手按住木块使其停在A处，绳处于绷紧状态，AB＝BC＝CD
＝DE＝L，放手后，木块最终停在C处，桌面距地面高度大于6L。

(1)求木块与BE段的动摩擦因数μ；
(2)若木块在BE段与桌面间的动摩擦因数变为μ′＝21m
4M，则木块最终停在何处？
(3)是否存在一个μ值，能使木块从A处释放后，最终停在E处，且不再运动？若能，求出该μ值；若不能，简要说明理由。

9.(浙江大学自主招生)如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为
m a和m b。

杆可绕距a球为l
4处的水平定轴O在竖直平面内转动。

初始时杆处于竖直位置。

小球b几乎接触桌面。

在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面。

现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过α角时小球b速度的大小。

设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离。

不计一切摩擦。