第一部分：知识点回顾角平分线的性质及判定：1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图角的平分线的性质定理的几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE角的平分线的判定定理的几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上等腰三角形的性质及判定：1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.2.等腰三角形的性质和判定性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）判定(1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.4.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.5.等边三角形有关判定(1 )三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。
求证∠１＝∠２．四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB,BE平分∠ABC，点E恰在DC上，∠C=∠D=90°。
（1）求证：AE⊥BE（2）猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论。
如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1：10 000，用尺规作图）． （2）求出仓库G 到铁路的实际距离。
如图所示，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，求∠A 的度数.如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=14AB ．第三部分：思维误区D CAB一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B=∠C ，BF=CF 。
求证：AF 为∠BAC 的平分线。
错误解法：线上）距离相等的点在角平分的平分线上（到角两边在点CAB F BFCF ∠∴=正确解法： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF=∠BEF=90°∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)，BF=CF(已知) ∴△DFC ≌△EFB(S.S.A.)∴DF=EF(全等三角形对应边相等) ∵FE ⊥AB,FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF 为∠BAC 的平分线错因：在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直” 的条件。
在解等腰三角形的问题时，当给出的条件（如边、角）情况不明时，一般要分两种情况逐一分析。
否则，易出现错解或漏解的错误。
一、考虑不周造成的错误例1、已知等腰三角形一边长为7，另一边长为3，求它的周长。
错解：当腰长为7时，底边长为3。
所求周长为：7×2+3=17当腰长为3时，底边长为7。
所求周长为：3×2+7=13剖析：错解分腰长为7或3两种情况求周长貌似严密，但3+3=6＜7违背了三角形的三边关系定理，犯了考虑不周的错误。
正解：当腰长为7时，底边长为3。
所求周长为：7×2+3=17当腰长为3时，底边长为7。
所求周长为：3×2+7=13但当三角形的三边长为3，3，7时，3+3=6＜7违背了三角形的三边关系定理，不能为成一个三角形。
所以所求周长为7×2+3=17。
二、腰大于底的习惯思维造成的疏漏例2、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成12㎝和15㎝两部分，求这个三角形腰长和底边长。
错解：∵BD 为等腰△ABC 的中线∴AD=DC设AB 为x ㎝ ，BC 为ycm.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122152y x x x解得 ⎩⎨⎧==710y x所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝。
剖析：在处理等腰三角形的问题时，有的同学习惯上总认为腰大于底，这是造成错误的原因所在。
事实上本题有两种情况。
正解：此题有两种情况：∵BD 为等腰△ABC 的中线 ∴AD=DC设AB 为x ㎝ ，BC 为ycm.(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122152y x x x解得 ⎩⎨⎧==710y x或 (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+152122y x x x解得 ⎩⎨⎧==118y x 所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝或腰长为8㎝，底边长为11㎝。
三、概念不清造成的错误例3、已知在等腰三角形中，一个角是另一个角的2 倍，求等腰三角形三个内角的度数。
错解：设等腰三角形的顶角为x °，则底角为2 x °。
根据题意，得 x+2x+2x=180 解得 x=36 ∴2x=72∴这个等腰三角形的三个内角为：36°、72°、72°.剖析：错误在于误认为等腰三角形的底角一定大于顶角，是概念不清造成的错误想法。
本题应分底角大于或小于顶角两种情况解答。
正解：当等腰三角形的底角大于顶角时，设顶角为x °，则底角为2 x °。
根据题意，得 x+2x+2x=180 解得 x=36 ∴2x=72∴这个等腰三角形的三个内角为：36°、72°、72°.当等腰三角形的底角小于顶角时，设底角为x °，则顶角为2 x °。
根据题意，得 2x+x+x=180 解得 x=45∴2x=90∴这个等腰三角形的三个内角为：90°、45°、45°.第四部分：方法规律角平分线：（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。
（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。
（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．等腰三角形：1.等腰三角形的性质定理提示了三角形边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，这是证明两角相等的常用依据。
2.作等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线，是三种重要的辅助线，在做题的时候要灵活选择，用最方便、简捷的方法解题。
3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的搞这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线的互相垂直，也可以证明线段成角的倍分问题。
但要注意使用性质2是以等腰三角形为前提的。
巩固练习：1．（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．4 2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG A．11 B．5.5 C．7D．3.5第1题第2题第3题3．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC 于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4B．3C．6D．5二．填空题4．（2011•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．5.（2012•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是___________________．6．（2010•曲靖）在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为_________．第4题第5题第6题12．如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE.13．如图， AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．•求证：AF⊥CD.14. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，交AC于E，交AD于F.试判断△AEF的形状，并说明理由.。