自动控制原理
第七章 非线性系统的分析
➢ 1 一般概念 ➢ 2 相平面法 ➢ 3 相平面分析法 ➢ 4 描述函数法 ➢ 5 非线性的描述函数分析 ➢ 6 利用非线性改善控制系统的性能
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1 关于非线性系统的基本概念 在前面各章中，我们讨论了线性系统各方面 的问题。但是，理想的线性系统是不存在的。 实际的物理系统，由于其组成元件在不同程 度上具有非线性特性，严格地讲，都是非线 性系统。当系统的非线性程度不严重时，在 某一范围内或某些条件下可以视为线性系统， 采用线性方法进行研究是有实际意义的。但 是，如果系统的非线性程度比较严重，采用 线性方法往往会导致错误的结论。因此，必 须对非线性系统进行专门的探讨。
b
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x (t) b
e (t) 0
x (t) b
e (t) a 0 a
b
x (t)
b
b
a
e (t)
0a
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(二)非线性系统的特点
与线性系统相比较非线性系统具有一些显著 的特点： (1)线性系统的稳定性和零输入响应的性质只 决定于系统本身的结构和参数，而和系统的 初始条件无关。然而非线性系统的稳定性和 零输入响应的性质不仅取决于系统本身的结 构和元件特性而且与系统的初始条件有关。 对于同一结构和参数的系统，可能出现在较 小初始值时系统稳定，但在饺大初始值时系 统不稳定的情况，也可能相反。因而对非线 性系统，不退能出 笼统地讲系统是否稳定。
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x (t)
k
a
e (t)
0a
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饱和 饱和也是一种常见的非线性，在 铁磁元件及各种放大器中都可遇到，其 特点是，当输入倍号超过某一范围后， 输出信号不再随输入倍号而变化，将保 持某一常数值(图1(b))。饱和特性将使 系统在大信号作用下之等效放大系数减 小，因而降低稳态精度。在有些系统中 利用饱和特性做信号限幅。
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(3) 在线性系统中，当输入信号为正 弦函数时，稳态输出信号也是相同频率 的正弦函数，两者仅在隔值和相位上不 问，因此可以用频率特性来表示系统的 固有特性。但是在非线性系统中，当输 入信号为正弦函数时，稳态输出信号通 常是包含高次谐波的非正弦周期函数， 其周期与输入信号相同。有时还会出现 跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。
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在工程实际上应用的分析非线性系统的方法 中，描述函数法和相平面法是应用较为广泛 的。相平面法是一种时域分析法，它保留非 线性特性，而将高阶的线性部分近似地化为 二阶来进行分析。描述函数法是一种频域分 析法，它保留线性部分，而对非线性环节进 行谐波线性化分析。它们采用的近似方法是 互相补充的。应该指出，模拟汁算机和数字 计算技术的发展，给分析复杂的非线性系统 提供了力便和有效的条件，必将进一步促进 非线性系统的研究工作。
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2 谐波线性化与描述函数
描述函数法是在频域中分析非线性的一种近似方 法。它是频域法于一定条件下和在非线性系统中 的应用，主要用于分忻非线性系统的稳定性，自 持振荡及其在正弦信号作用下之输出。描述函数 法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思想是 用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正 弦输入信号作用下之实际输出。
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(4) 从分忻方法上看，线性系统用线性微分方程 来描述，可以应用叠加原理。用典型信号对系统分 析的结果，一般也适用于其他情况。而非线性系统 要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理， 因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 在实际上遇到非本质的非线性系统时，常常采用小 偏差线性化方法处理。对于本质非线性特性，有时 采用分段线性化方法或其他近似方法。应该指出， 研究非线性系统并不一定都要求解其暂态过程，通 常讨论的重点是系统是否稳定；会不会产生自持振 荡，如会产生，其振幅和频率为多少?如何消除自 持振荡等。
(2)对于线性系统而言，只有两种基本的运 动形式即发散和收敛。只有当系统处于稳 定的临界状态时，才会出现等幅振荡但这 一运动形式是不能持久的。系统参数稍有 细微的变化，这一临界状态就不能继续， 而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统 中，除了发散和收敛两种运动形式外，即 使无外界作用，往往也会发生具有一定振 幅和频率的振荡，称为自持振荡，又称自 激振荡。在有的非线性系统中，还可能产生 不止一种振幅和频率都不相同的自持振荡。
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谐波线性化 设非线性系统的方框图如图2所示。
图中N（A）为非线性元件。设N（A）的输入信号 一正弦信号x(t) As由in于t非线性特性的作用，其 输出信号的稳态分量y（t）是一个非正弦周期函
数，其周期与输入信号相同。我们作如下假设： （1）高次谐波的幅值通常要比基波的幅值小； （2）系统的线性部分G(s)又具有低通滤波特性；
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(一)非线性特性 在实际控制系统中最常见的非线性特性有死区、饱 和、间隙、继电器等。 不灵敏区 ——又称死区 常见于测量、放大元件中， 其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此 范围时，才有输出信号。执行机构中的静摩擦的影 响往往也可用死区来表示。死区特性如图1(a)所示。 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳差， 而测量元件死区的影响尤为显著。摩擦死区会造成 系统低速运动的不均匀，导致随动系统不能准确地 跟踪目标。
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x (t)
b
k a
e (t)
0a

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间隙——又称回环 传动机构的间隙也是一种 很常见的非线性特性。在齿轮传动中，由于 间隙的存在，当主动轮方向改变时，从动轮 保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向 (图1(c))。铁磁元件中的磁滞现象也是一种 回环特性，又称磁滞特性。间隙或回环特性 对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使 系统稳差增大，相位迟后增大，从而使动态 特性变坏。采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可 以消除齿轮间隙对系统的不利影响。
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x (t)
b
a
k e (t)
0
a
b
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继电器特性 由于继电器吸上电压和释 放电压的不同，其特性中包含了死区、 回环和饱和特性(图1(d))。图中当a＝0 时的特性称为理想继电器特性。在控制 系统中，有时利用继电器的切换特性来 改善系统的性能。
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x (t) b
a ma
e (t)
0 ma a