§2.4 应力状态13
• ——应力分量满足张量变化规则
• 应力张量为二阶对称张量
• 转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分 量可通过原坐标系的应力分量确定。
• 应力张量可以确定一点的应力状态。
• 坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是 作为整体所描述的应力状态没有变化。
§2.4 应力状态14
平面应力状态转轴公式
过物体内部点M的三个彼此垂直的微分面（使之与坐标平面平 行）则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为
px, py, pz
§2.2 应力4
p x x i xy j xz k p y yxi y j yz k p z zx i zy j z k
体力
• 方向约定
2.1.2 面力
§2.2
• 内力
应力与应力张量
– 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分 之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为
内力。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继 续，物体达到稳定平衡状态。 • 应力
– 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想 平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微 面积ΔS 上内力的平均值称平均应力
§2.5 边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
应力状态分析——首先是确定应力状态的描述方法， 这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力 和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定— 转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力、 最大切应力等。 应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课 程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如 果你没有学习过张量概念，请查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点——微分单 元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡 微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条 件为面力边界条件。
应力张量可以描述一点应力状态
§2.3 平衡微分方程
平衡 物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
考察微分平行六面体单元
dx,dy,dz， 在体力、面力作用下处 于平衡。 负面、正面（约定）
§2.3 平衡方程1
X轴方向负面上；
x x, y, z , xy x, y, z , xz x, y, z
X轴方向正面上，因为应力是坐标的连续函数，所以有
x x dx, y , z , xy x dx, y , z , xz x dx, y , z
xy x xz x x, y , z dx, xy dx , xz dx x x x
x yx zx Fbx 0 x y z
§2.3 平衡方程4
平衡微分方程
x yx zx Fbx 0 x y z xy y zy
x xz z Fbz 0 x y z y yz z
xy l1m3 l3m1 yz m1n3 m3n1 zx l1n3 l3n1
§2.4 应力状态11
通过 x , y , z 三者的轮换， 可得到其余六个应力分量；
y , yx , yz z , zx , zy
§2.1 体力和面力
• 物体外力 • ——分为两类 • 体力 _体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。 • [ F / LLL ]
• 面力_面积力；指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接 触力等 。
•
[ F / LБайду номын сангаас ]
• 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。
2.1.1
• 体力 _[ F/LLL ]
xy l2 px m2 p y n2 pz l2 x l1 yx m1 zx n1
x l1l2 y m1 m2 z n1 n2
m2 xy l1 y m1 zy n1 n2 xz l1 yz m1 z n1
,
并可证明

y x

x y
,

x z

z x

y z

z y
•转轴公式
i ` j ` ij nii ` n jj `
§2.4 应力状态12
• 转轴公式——又称为应力分量转换公式。它表
明：当坐标作转轴变换时，应力分量遵循二阶 张量的变换规律。
• 因此从数学上证明了一点的应力状态是一个二 阶张量，在坐标转换时具有不变性。即物体内 一点的客观受力状态不会因人为地选择参考坐 标而改变。 • 通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了， 但九个分量作为一个“整体”，所描述的一点 的应力状态是不会改变的。 • 由于 i ` j ` j `i ` • 因此应力张量是对称张量。
§2.4 应力状态4
§2.4 应力状态5
张量表达式：
pi ij n j
•公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位
微分面的应力矢量。
•当然可以确定正应力 n与切应力 n。
这就是著名的哥西公式，又称为斜面应力公式。它说明； 过一点三个互相垂直微分面上的九个应力分量完全确定了该点 的应力状态。这样，我们就可以把要了解各点应力状态的问题，
§2.4 应力状态8
§2.4 应力状态9
§2.4 应力状态10
x l1 p x m1 p y n1 pz l1 x l1 yx m1 zx n1
m1 xy l1 y m1 zy n1 n1 xz l1 yz m1 z n1 x l12 y m12 z n12 2 xy l1m1 2 yz m1n1 2 zx n1l1
简化为去求各点的九个应力分量的问题。
§2.4 应力状态6
应力矢量不仅随位置改 变而变化，而且随截面 方位改变而变化。 同一点由于截面的法线 方向不同，截面上的应 力矢量也不同。
讨论应力分量在坐标
变换时的变化规律。
§2.4 应力状态7
• 坐标变换的应力分量和应力张量 • 坐标平动时，n方向无变化，应力分量不变化。 • 转轴公式：
Fby 0
ij , i Fbj 0
§2.3 平衡方程5
考察主矩为零条件：
M
x
O ;
yz 1 1 yz y dy dxdz 2 dy yz dxdz 2 dy zy 1 1 zy dz dxdy dz zy dxdy dz 0 z 2 2
应力张量
x xy xz 11 12 13 ij yx y yz 21 22 23 z 31 32 33 zx zy
•应力分量是标量、箭头仅是说明方向
—弹性力学以坐标系定义应力分量；
材料力学以变形效应定义应力分量。
正应力二者定义没有差异
而切应力定义方向不同（顺时针为正）
§2.4 应力状态15
平面问题转轴公式：
x ` x cos 2 y sin 2 2 xy cos sin ) y ` x sin 2 y cos 2 2 xy (cos sin ) x `y ` ( x y ) cos sin 1 xy (cos 2 sin 2 )
pn随截面的法线方向n的方向改变而变化
§2.2 应力2
应力状态及应力矢量pn的分解
§2.2 应力3
应力矢量沿坐标分解
p n px i p y j pz k
正应力和切应力——应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称
为正应力，称为剪应力。
p n n n nt
同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。
• 应力矢量
F pn S
– 应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。 这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点， 并且通过该点哪一个微分面的应力。
23
§2.2 应力1
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。
附加内力
应力 应力矢量
F pn lim S 0 S
§2.3 平衡方程2
主矢为零：
微分平行六面体单元
F 静力平衡条件:
x
O , Fy O , Fz O
主矩为零：
M
x
O,M y O,Mz O
§2.3 平衡方程3
F
x
O ;
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx dz dxdy zx dxdy Fbx dxdydz 0 zx z
xy l1m2 l2m1 yz m1n2 m2n1 zx l1n2 l2n1
xz l3 px m3 p y n3 pz l3 x l1 yx m1 zx n1
m3 xy l1 y m1 zy n1 n3 xz l1 yz m1 z n1 x l1l3 y m1 m3 z n1 n3
§2.4 应力状态1
•应力状态对于结构强度是十分重要的。
•为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的应力参数。 如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1. 应力张量可以描述其它应力参数