江西省六校2019届高三联考文科数学试卷
（奉新一中、南丰一中、平川中学、瑞昌一中、上饶县中、万安中学）
命题老师：奉新一中 俞文琪 审题老师：南丰一中 彭凤英
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5M =，集合{}3,4N =，则图中阴影部分所示的集合是（ ）
A. {}1
B. {}3,4
C. {}2,3,4
D. {}4
2. 在复平面内与复数21i
z i
=+（i 为虚数单位）所对应的点关于实轴对称的点为A ，则点A 对应的复数为（ ） A. 1i +
B. 1i -+
C. 1i -
D. 1i --
3. 命题“p q ∧为假”是命题“p q ∨为假”的（ ） A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
4. 在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若24925a a a ++=，则9S =（ ） A. 60
B. 75
C. 90
D. 105
5. 如图，在OAB ∆中，4OA =，2OB =，60AOB ∠=︒，点P 在线段AB 上，且4AB AP =，则OP AB ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A. 9
B. -9
C. 13
D. 9±
6. 在公元前378-前320年田忌赛马故事中，齐威王有上、中，下三个等级的马速度分别为1a 、2a 、3a ，而田忌的上，中、下三个等级的马速度分别为1b 、2b 、3b ，且112233a b a b a b >>>>>，若他们各自从三匹马中依次任取一匹进行赛跑，共比赛三场，则在他们的所有的三场分配对战中，齐威王二胜一负的概率是（ ） A.
56
B.
34
C.
23
D.
712
7. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积为（ ）
A. 12+
B. 12
C. 8
D. 8+
8. 执行下边的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为2013和2019，则输出的值i =（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9. 若圆()2
2
44x y -+=与双曲线C ：()22
2210,0y x a b a b
-=>>的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A. 2
B.
C.
D.
3
10. 体育品牌Kappa 的LOGO 为可抽象为：如图背靠背而坐的两条优美的曲
线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（ ）
A. ()sin 622x x x
f x -=-
B. ()cos622x x
x
f x -=-
C. ()sin 622x x
x
f x -=
-
D. ()cos622x x
x
f x -=
-
11. 若点(),P x y 满足不等式30301x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩
，且点P 构成的集合为D ，则下列命题中：1P ：(),x y D ∃∈，
5x y +≤-；2P ：当(),x y D ∈时，42x y -++的最大值为9；3P ：
(),x y D ∀∈，()953653
x y x y +++≥++，其中真命题的个数为（ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
12. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为1
3
n n S k -=-，且函数()264,0
ln ,0f kx x x x x x x ⎧+≤>=⎨⎩
，若方程
()2f x ax a =+-至少有三个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1a ≥
B. 1a >
C. 12a ≤≤
D. 12a <≤
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数()f x 满足定义域为D ，值域也为D ，就称()f x 为“优美函数”.试写出能满足“若()f x 是优美函数，则()00f =”为假命题的一个函数是______.
14. 在R 上定义运算：
a b ad bc c d
=-.若不等式
111x a
x
-<的解集为空集，则实数a 的最大值为______.
15. 已知平行四边形ABCD
中，AB =1AD =，45A ∠=︒，沿BD 将ABD ∆折起到'BDA ∆位置，
使'A C =
'A BCD 的外接球表面积为______.
16. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中给出了一些新垛积问题，如图正方垛积：最上层1个，第2层4个，第3层9个…第n 层2n 个，这n 层的总个数计算式子为：
()222211123132n n n n ⎛
⎫++++=++ ⎪⎝
⎭L
试问“三角垛下广一面二十个，上尖，高二十个，问计几何？”意思是：有一个三角垛，底层每条边上有
20个小球，上面是尖的（只有一个小球），问：总共有______个小球.（注：这里高分别为一个、二个、三个、四个的三角垛如图）
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分.
17. 已知角α，β的终边分别与单位圆O ：221x y +=相交于点P 、Q ，(),0,αβπ∈，且
()1cos sin sin sin 22παβπαβ⎛⎫
++-= ⎪⎝⎭
.
（1）求POQ ∠的值；
（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c PQ =，C POQ =∠，sin sin A B +=求ABC ∆的面积.
18. 如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，2BC AD =，
PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PB 的中点.
（1）证明：AE PD ⊥；
（2）若2PA AB BC ===，求点C 到平面AEF 的距离.
19. 自2009年以来，菜鸟网络物流和淘宝商城双十一活动已经走过十年，某数学兴趣小组收集了近五年双十一当天菜鸟网络物流订单数据如下表.并且查知这五年订单数的平均数约为6.5亿件.
（1）现发现表中一个数据a 看不清，试求出表中a 的值，并根据收集的这些数据和下列有关参考数据说明函数y a bx =+，c dx
y
e
+=中，哪一个类型更适合y 关于x 的回归方程；
（2）依据你的判断，求y 关于x 的回归方程；
（3）预测菜鸟网络物流2019年的订单数. 参考数据：
()()
10.998n
i
i
x
x
y y r --=
=∑，()()
20.983n
i
i x
x z z
r --=
=∑.
参考公式：()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y
y
b x x
==--=
-∑∑，$a
y bx =-. 20. 已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率12e =，P 是椭圆C 上的动点，且点P 到椭圆C 焦点的
距离的最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C
的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当)12121y y x x +=-时，求PAB ∆面积的最大值. 21. 函数()ln f x x ax m =++.
（1）若0m =，a R ∈，讨论函数()f x 的零点个数情况； （2）若1a =，对于()g x =
1,t e e ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，使得()g t t =成立，求实数m 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1x t
y t
=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴正半
轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：()1cos28sin ρθθ+=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求AB 的值. 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =--+. （1）求不等式()0f x >的解集；
（2）若关于x 的不等式()2135m f x x +≥+-+恒成立，求实数m 的取值范围.。