专题九 数列考点23：数列的概念与简单表示法（1,2题，13题,17题） 考点24：等差数列及其前n 项和（3-6题，18-21题）考点25：等比数列及其前n 项和（7,8题，14题,18-21题） 考点26：数列求和（9,10题，18-21题）考点27：数列的综合问题及其应用（11,12题，15，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和21?n S n n =++,则19a a +等于( )A.19B.20C.21D.22 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = ( ) A. 12n -B. 132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D.112n - 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且316,4S a ==,则公差d 等于( ) A. 1B.53 C. 2- D. 34.等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0,若2a 、3a 、6a 成等比数列,则{}n a 的前6项和等于( )A.-24B.-3C.3D.85.已知等差数列 {}n a 的前n 项和为1314,0,0n S S S <>, ,则当n S 取得最小值时, n 的值为( )A.5B.6C.7D.86.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足170S >,18 0S <,则11S a ,22S a ,…, 1515S a 中最大的项为( )A.77S a B.88S a C.99S a D.1010S a 7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,则需( )日两马相逢A.16B.12C.9D.88.等比数列{}n a 中,已知对任意正整数n ,1232nn a a a a m ++++=+L ,则22212n a a a ++⋯+等于( )A. 1(4)3nm + B. 1(21)3n -C. 41n- D. 2(2)nm +9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且,,2n n a sinn N *π=∈则2016S = ( ) A.0 B.1 C.-1 D.210几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列,,,,,,,,,,,,,,,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推,求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.11011.已知数列{}n a 满足: 11a =,12nn n a a a +=+*()n N ∈.若()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( )A. 23λ>B. 32λ>C. 32λ<D. 23λ<12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,12n n a S +=+,则满足2110n n S S <的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 二、填空题13.已知数列{}n a 中,12a =,111(2)n n a n a -=-≥,则2018a 等于__________ 14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若5116124,8a a a a ==则89a a =__________ 15.已知()12n n n a +=,删除数列{}n a 中所有能被2整除的数,剩下的数从小到大排成数列{}n b ,则51b =__________.16.在数列{}n a 及{}n b 中,1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+,11a =,11b =.设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则数列{}n c 的前n 项和为__________. 三、解答题17.已知点11,6⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()()10,12x f x a a a =>≠图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()c f n -.数列{}()0n n b b >的首项为2c ,前n()12n =≥1.求数列{}n a 的通项公式2.若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,问使10002017nT >的最小正整数n 是多少? 18.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足33232S a a =+,48a =. 1.求数列{}n a 的通项公式;2.设数列2log n n b a =,求{}n b 的前n 项和n T .19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*22()n n S a n N =-∈,在数列{}n b 中, 11b =,点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上.1.求数列{}{},an bn 的通项公式;2. 记1122n n n T a b a b a b =++⋯+,求n T . 20.已知等比数列{}n a 满足: 12462,a a a a =⋅= 1.求数列{}n a 的通项公式 2.记数列2212211log log n n n b a a -+=⋅,求该数列{}n b 的前n 项和n S21.已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,212n n n S a a =+,*n N ∈. 1.求数列{}n a 的通项公式;2.设数列{}n b 满足: 11b =,()122n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ,求证: 2n T <;3.若()4n T n λ≤+对任意*n N ∈恒成立,求λ的取值范围.参考答案一、选择题 1.答案：C解析：113a S ==,()()99881964818a S S =-=+-+=, ∴1921a a +=. 2.答案：B 解析： 3.答案：C 解析：∵()13323362a a S a +=== 22a ∴=212d a a ∴=-=-, 故选C设等差数列的公差为d ,由2a 、3a 、6a 成等比数列可得: 2326a a a =,即()()()212115d d d +=++,整理可得: 220d d +=, 公差不为0,则2d =-,数列的前6项和为()()()616616616622422S a d ⨯-⨯-=+=⨯⨯-=-.故选A.5.答案：C 解析：6.答案：C 解析：()()117917917172000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>,()()1188918181800022a a a a S ++<⇒<⇒<1091000a a a ⇒+<⇒<,因此110S a >,220Sa >,…880S a >,990S a >,10100S a <, 而129S S S <<<L ,1289a a a a >>>>L ,89121289S S S S a a a a <<<<L ,选 C. 7.答案：C 解析： 8.答案： A解析：∵等比数列{}n a 中,对任意正整数n ,1232nn a a a a m +++⋯+=+,∴12a m =+,124a a m +=+,1238a a a m ++=+, ∴12a m =+,22a =,34a =,∴1m =-,11a =,∴211a =,224a =,2316a =,∴{}2n a 是首项为1,公比为4的等比数列,∴()222212314141143n n na a a a -++++==--L ()143n m =+, 故选A. 9.答案：A 解析：sin,2n n a n N *π=∈,显然每连续四项的和为0,201645040S S =⨯=,答案:A 答案： A解析： 设首项为第组,接下来两项为第组,在接下来三项为第组,以此类推,设第组的项数为,则组的项数和为,由题,,令,且,即出现在第组之后,第组的和为,组总共的和为,若要使前项和为的整数幂,则项的和应与互为相反数,即, ,则,故选A. 11.答案：D 解析：因为111121112n n n n n n a a a a a a +++=⇒=+⇒++111112(1)1(1)22n n n n a a a -=+⇒+=+=, 所以1(2)2nn b n λ+=-⋅,因为数列{}n b 是单调递增数列, 所以当2n ≥时,11(2)2(12)2n n n n b b n n λλ-+>⇒-⋅>--⋅3212212n λλλ⇒>-⇒>-⇒<, 当1n =时,213(12)22b b λλλ>⇒-⋅>-⇒<, 因此23λ<,选D. 考点:数列的综合运用. 12.答案：A解析：由12n n a S +=+得12n n n S S S +-=+,即122(2)n n S S ++=+,又11223S a +=+=,所以1232n n S -+=⨯,即1322n n S -=⨯-,所以1212322132210n n n n S S --⨯-=<⨯-,即12130220322n n --⨯-<⨯-, ()2113215290n n --⨯-⨯+>,令12n t -=,则231590t t -+>,函数2()3159h t t t =-+的对称轴为156t =,有t 的可能值为1,2,4,8,...,12n -, 所以1(1)(2)(4)(8)(2)n h h h h h -><<<<L ,(1)315930h =-+=-<,(2)1230990h =-+=-<, (4)4860930h =-+=-<,(8)1921209810h =-+=>,这时4n =,所以从第四项起以后各项均满足2110n n S S <,故选A. 二、填空题 13.答案：12解析： 14.答案：解析：由等比数列的性质得22851196124,8a a a a a a ====,∴892,a a ==89a a =15.答案：5151 解析：由题意得,∵()12n n n a +=,∴11a =,23a =,36a =,410a =,…, ∵()12n n n a +=,删除数列{}n a 中所有能被2整除的数,剩下的数从小到大排成数列{}n b , ∴511015151b a ==. 16.答案：224n +-解析：由1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+, 两式相加可得: ()112n n n n a b a b +++=+,故数列{}n n a b +是以2为首项, 2为公比的等比数列,得2nn n a b +=;两式相乘可得: ()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅,故数列{}n n a b ⋅是以1为首项, 2为公比的等比数列,得12n n n a b -⋅=,故111222nn n n n n n n n n a bc a b a b +⎛⎫+=+=⋅=⎪⋅⎝⎭, 故其前n 项和为()24122412n n n S +-==--.三、解答题 17.答案：1.()11126a f ==. 13a ∴=,∵()1123n f n =⋅,则等比数列{}n a 的前n 项和为1123n c -⋅, 121111,61869a c a c c ⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3111541827a c c ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由{}n a 为等比数列,得公比3213a q a == 111191363a c ∴===-则111,23c a ==,1111333n n n a -∴=⋅=2.由121b c ==,得11s =,2n ≥时,1=则1,公差为1的等差数列.()()211,n n S n n N*=+-=∈,则()()()22122121,n n n S n S n n b n n -⎧-⎪⎨=-⎪⎩≥⇒=-≥. 当1n =时, 11b =满足上式21,n b n n N *∴=-∈∵()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭111111123352121n T n n ⎛⎫∴=-+-++- ⎪-+⎝⎭L 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 由1000212017n n T n =>+,得100017n >,则最小正整数n 为59. 解析：18.答案：1. 712n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 2213,722{1342,722n n n n T n n n -+≤=-+>解析：1.设正项等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,由已知33232S a a =+,有32120a a a +-=,即211120a q a q a +-=,∴2210q q +-=,故12q =,或1q =- (舍), ∴74412n n n a a q--⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.2.由1问知, 7n b n =-,故当7n ≤时, 0n b ≥,∴当7n ≤时, ()211213222n n n n b b n nT b b b +=+++==-+L , 当7n >时, ()12789n n T b b b b b b =+++-+++L L()()127122n b b b b b b =+++-+++L L 2134222n n=-+. ∴2213,722{1342,722n n nn T n n n -+≤=-+>.19.答案：1.由22n n S a =-,得()11222n n S a n --=-≥,两式相减得122n n n a a a -=-,即12(2)nn a n a -=≥, 又11122,2a a a =-∴=,∴{}n a 是以2为首项,以2为公比的等比数列,∴2nn a =.∵点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上,∴120n n b b +-+=,即12n n b b +-=,∴{}n b 是以2为公差的等差数列,∵11b =,∴21n b n =-.2.∵()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+-①∴()()2341?2123252? ? 23221?2nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+-②①-②得: ()()23112222221?2n n n T n +-=⨯+++⋯+--=()()()211122222?21224?2821232?2612n n n n n n n n +++-⋅+--=+---=--- ∴()123?26n n T n +=-+. 解析：20.答案：1.设等比数列{}n a 的公比为q ,由12462,a a a a =⋅=得, ()()35222q q q ⋅=,解得2q =,则112n n n a a q -=⋅=2.由1得, 21212n n a --=,21212n n a ++=()()22122111111log log 212122121n n n b a a n n n n -+⎛⎫∴===- ⎪⋅-+-+⎝⎭ 则123n n S b b b b =++++L111111111233557212+1n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-⎝⎭L 11=12212+1n n n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ 解析：21.答案：1. 1n =时, 211112a a a =+,∴112a =, 当2n ≥时. 2111212{12n n n n n n S a a S a a +++=+=+ 22111122n n n n n a a a a a --⇒=-+- ()11102n n n n a a a a +-⎛⎫⇒+--= ⎪⎝⎭, ∵0n a >,∴112n n a a --=, ∴{}n a 是以12为首项, 12为公差的等差数列, ∴12n a n =. 2. 1n n b b n --=,2132123{n n b b b b b b n--=-=-=M ()()()121122n n n n n n b b b +-+⇒-=⇒=, ()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, ∴11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭, 即2n T <.3.由()241n n n λ≤++,得()()224145n n n n nλ≥=++++, 当且仅当2n =时, 245n n ++有最大值29,∴29λ≥. 解析：。