§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
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§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
至（5－4）成为抛物线差分公式； （4）要想求差分解，前提是要有微分方程。
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§5－2应力函数的差分解
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§5－2应力函数的差分解
0
y
•8 •11 •3
• 7
•12
•4
• 5
•0 •1 •9
• 2
•6
•10
x
h
A
• 13
B
h
• 14
图5－1
当不计体力时，我们已把弹 性力学平面问题归结为在给定边 界条件下求解双调和方程的问题。 用差分法解平面问题，就应先将 双调和方程变换为差分方程，而 后求解之。
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x2
0
h3 6
3 f
x3
0
f1
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
x2
0
h3 6
3 f
x3
0
（b） （c）
假定网格间距 h 充分小，二次项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为
f3
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
x2
0
f1
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
x2
0
f4
f5
f6
f7
f8
4f
y 4
0
1 h4
6 f04f2Fra bibliotekf4
f10
f12
（5－6） （5－7） （5－8）
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§5－1差分公式的推导
讨论：
（1）差分公式是微分方程在数学上的近似； （2）在推导（5－1）－－（5－4）时，略去了三次项及更高阶项；
2 f xy
0
x
f y
0
f y
1
2h
f y
3 ＝
f6 f5 2h 2h
f7 f8 2h
1 4h2
f6
f8
f5
f7
四阶导数的差分公式
（5－5）
4f
x4
0
1 h4
6 f0
4
f1
f3
f9
f11
4f
x
2
y
2
0
1 h4
4
f0
2
f1
f2
f3
分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解
代数方程问题。 差分法的数学基础：泰勒公式
0
y
•8 •11 •3
• 7
•12
•4
• 5
•0 •1 •9
• 2
•6
•10
x
h
A • 13
B
h
• 14
图5－1
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§5－1差分公式的推导
0
l x m yx fx
l xy m y f y
x
2
y 2
,
y
2
x2
,
在
xy
2
xy
s 上
代入上式，即得：
（a）
l
2
y2
m
2
xy
fx
;
l
2
xy
m
2
x2
fy
（b）
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问题：边界上的点（边界附近的点）怎么办？？？？？？
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§5－2应力函数的差分解
当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及
边界上各结点处的 值，并包含边界外一行的虚结点处的 值。
为了求得边界上各结点处的 值，须要应用应力边界条件，即：
同理可以得到 y 方向的上的差分公式
（5－1） （5－2）
f
y
0
f2 f4 2h
2 f
y 2
0
f2
f4 2 f0 h2
注（5－1）－－（5－4）是最基本的差分公式
（5－3） （5－4）
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§5－1差分公式的推导
混合二阶导数的差分公式
x x0 2
0
1 3 f
3!
x3
x
0
x0 3
1 4 f
4!
x4
x
0
x0 4
（a）
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§5－1差分公式的推导
节点3的坐标 x0 h,0 ，节点1的坐标 x0 h,0 ，带入（a）
f3
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
（d） （e）
把（d）和（e）看成关于
f x
和
0
2 f x2
0
的二元一次方程组
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§5－1差分公式的推导
把（d）和（e）看成关于
2 f
和
2
x
0
的二元一次方程组
f x 0
f1 f3 2h
2 f
x2
0
f1
f3 2 f0 h2
4
x 4
2
4
x2y
2
4
y 4
0
0
y
x
•12
h
•8
•4
• 5
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
•7
• 2
•6
•10
B
h
• 14
整理即得
图5－1
200 8(1 2 3 4) 2(5 6 7 8) (9 10 11 12) 0 （5－10）
相容方程的差分公式
对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
2020/12/11
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§5－1差分公式的推导
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§5－1差分公式的推导
差分法：是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用 差分
来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微