f1 f 3 f ( )0 x 2h
f1 f 3 2 f 0 2 f ( 2 )0 x h2
（5-1）
（5-2）
同理，可以得到：
f2 f4 f ( )0 y 2h
f2 f4 2 f0 f ( 2 )0 y h2
2
（5-3）
（5-4）
公式（5-1）至（5-4）称为基本差分公式，其它差分公式可以由基 本差分公式得到：
14 10 13 9 ( ) ( )A ， x B 2h x 2h 13 9 2h( ) A ， 14 10 2h( ) B x x
（5-16）
2. 差分法的解题步骤
，取 A (
（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A 再由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处的F值，以及应用 式（5-16）时所必需的一些
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分解
当不计体力时，平面问题中的应力分量为：
2 2 2 x 2 ， y 2 ， xy xy y x
（a）
把任一结点0处的应力分量表示成：
2 1 ( x ) 0 ( 2 ) 0 2 [( 2 4 ) 2 0 ] y h 2 1 ( y ) 0 ( 2 ) 0 2 [( 1 3 ) 2 0 ] x h 2 1 ( xy ) 0 ( ) 0 2 [( 5 7 ) ( 6 8 )] xy 4h
(b)
dy l cos( N , x) cos ds
图5-2
dx ， m cos( N , y ) sin ds
将（b）式改写为：
dy 2 dx 2 ( 2 )s ( )s f x ds y ds xy dx 2 dy 2 ( 2 )s ( )s f y ds x ds xy
B B A B x B ( ) B x A ( ) A x f y ds y B ( ) B y A ( ) A y f x ds A A x x y y
再将式（d）代入，得：
B B A B x B [( ) A f y ds ] x A ( ) A x f y ds A A x x B B y B [( ) A f x ds ] y A ( ) A y f x ds A A y y
由应力边界条件（2-18），有：
l ( x ) s m( xy ) s f x ， m( y ) s l ( xy ) s f y
利用式（a），将其转化为： 2 2 l ( 2 ) s m( )s f x xy y 2 2 m( 2 ) s l ( )s f y xy x 由图（5-2）可知，
d ( )s f ds y
x
，
d ( )s f ds x
y
（c）
将（c）式从A点到B点对s积分，得：
B ， A f y ds y A f x ds x A A
B B
B
B ( ) B ( ) A f x ds A y y B ( ) B ( ) A f y ds A x x
f f f6 f5 f7 f8 y y 2 f f 1 3 2h 2h ( )0 y xy x 2h 2h 0 （5-5） 1 2 ( f 6 f 8 ) ( f 5 f 7 ) 4h
22 3 6qh 2
同理，有：
（b） （c）
23, 24, 25, 26 6,9,12,15 6qh 2
（3）对边界内的各结点建立差分方程。 例如，对1结点，由式（5-12）及对称性，可知：
201 8(2 2 4 M ) 2(2 5 2 L ) (2 3 7 16 ) 0
图5-1
f 1 2 f 1 3 f 2 f f 0 ( ) 0 ( x x0 ) ( 2 ) 0 ( x x0 ) ( 3 ) 0 ( x x0 ) 3 （a） x 2! x 3! x
f 1 2 f f f 0 ( ) 0 ( x x0 ) ( 2 ) 0 ( x x0 ) 2 x 2 x
（d）
因为 d
dx dy x y
B A
，故由分步积分法可得：
B d B B B d ( ) ( x )A x ( )ds ( y )A y ( )ds A A x ds x y ds y
将（c）式代入得： B B B B B ( ) A ( x ) A x f y ds ( y ) A y f x ds A A x y
x y
所需的 x 值及 y 值。
结点
x
y
A 0 0
B、C / 0
D / /
E、 F 、 G 、 H 、 I
J / /
K / 0
L / 0
M / 0
3qh
/

0
0
0
0
0
2.5qh 2
4.0qh 2
4.5qh 2
（2）将边界外一行各虚结点处的F值用边界内的相应结点处的F值 表示出来。
（5-11）
可见，若已知了结点处的F值，就可以求出各结点处的应力值。 将差分公式（5-6）代入相容方程，即
4 4 4 x 4 2 x 2 y 2 y 4 0 0 0 0
即可得出：
（b）
( x x0 ) h
在结点3及结点1，x分别等于 x0 h 及 x0 h ，即将 及 ( x x0 ) h 代入（b）式有：
f h2 2 f f 3 f 0 h( ) 0 ( 2 ) 0 x 2 x
f h2 2 f f 1 f 0 h( ) 0 ( 2 ) 0 x 2 x
§5-3 应力函数差分解的实例
设有正方形的砼深梁，图5-3，上面受均布压力q，由下角点 处的力平衡，用应力函数的差分法求出应力分量。 取坐标如图，网格划分h=1/6边长，由于对称，只计算一半 梁。
图5-3
（1）选基点A，取 A ( ) A ( ) A 0 ，计算边界各结点处的F值及
…………………………………………
13 0.92qh， 14
2
2 0 . 94 qh 0.94qh， 14
2
（4）计算边界外一行各虚结点处的F值。 由（a）、（b）、（c）三式可得：
B ( y B y) f x ds ( x x B ) f y ds
A A
B
B
（5-15）
对多连体情况，只能直接应用式（e）及式（d），不能应用简 化式（5-13）至（5-15）。这就使得应力函数的差分解在多连体问 题中应用不方便。
式（5-13）右边的积分表示A与B之间的x方向面力之和；式（514）右边的积分表示A与B之间的y方向面力之和；式（5-15）右边的 积分表示A与B之间的面力对B点的矩（在x轴向右y轴向下的坐标系 下，力矩以顺时针转向为正）。 边界外一行的（距边界为h的）虚结点处的F值，可用边界内一 行结点处的F值及边界上的导数值来表示。如虚结点13及14 ：
第一节
第二节
差分公式的应力函数差分解的实例
弹性体的形变势能
第五节
第六节
位移变分方程
位移变分法
第七节
位移变分法应用于平面问题
§5-1 差分公式的推导
工程中许多重要的实际问题，并不能 得出函数式解答，必须进行数值计算法求 解，差分法是数值解法之一。 差分法是把基本方程和边界条件（一 般都是微分方程）近似地改用差分方程（ 代数方程）来表示，把求解微分方程的问 题转化为求解代数方程的问题。 首先把弹性体用间距为h的两组平行线 织成网格，如图5-1。设函数 f ( x, y ) 是弹性 体内的某一连续函数，将函数在平行于轴 的网线上，如在3—0—1上，在临近结点0 处，展开成台勒级数：
将 M 、 L 的已知值代入，并注意到16 1 ，得
211 16 2 2 3 8 4 4 5 7 20qh 2 0 （d）
对面内各点可建立和上相似的方程，共可建立15个，联立求解可得：
2 1 4.36qh， 2 3.89qh 2 ， 3 2.47qh 2
力分量 f x、f y 求得于 B 、( ) B、( ) B 。取 A = ( ) A = ( ) A，于是
x
x
y
y
x
y
式（e）及式（d）简化为：
B ( ) B f x ds A y
B ( ) B f y ds A x
（5-13） （5-14）
值及 x
) A ( ) A 0， x y
值。 y
（2）应用式（5-16），将边界外一行各虚结点处的F值用边界内的 相应结点处的F值来表示。
（3）对边界内的各结点建立差分方程（5-12），联立求解这些结点 处的F值。
（4）按式（5-16），算出边界外一行各虚结点处的F值。 （5）按式（5-11）计算应力分量。
B B B A ( x B x A )( ) A ( y B y A )( ) A ( y B y ) f x ds ( x x B ) f y ds（e） A A x y
由式（e）及式（d）可见，若已知 A 、 ( ) A、 ( ) A ，即可由面