第三节 抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2010年陕西卷, 理8)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线与圆x 2+y 2-6x-7=0相切, 则p 的值为( )(A)12(B)1 (C)2 (D)4解析:圆x 2+y 2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y 2=16, ∴圆心为(3, 0), 半径是4, 抛物线y 2=2px(p>0)的准线是x=-2p, ∴3+2p=4, 又p>0, 解得p=2.故选C. 答案:C2.(2011年辽宁卷, 理3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3, 则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A)34(B)1(C)54(D)74解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12=3,∴x A +x B =52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2A Bx x +=54.故选C. 故选C. 答案:C3.(2020年四川卷, 理8)已知抛物线关于x 轴对称, 它的顶点在坐标原点O, 并且经过点M(2, y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3, 则|OM|等于( )(C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0), 则M 到焦点的距离为x M +2p =2+2p=3, ∴p=2, ∴y 2=4x.∴20y =4×2, ∴故选B.答案:B4.(2010年上海卷, 理3)动点P 到点F(2, 0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等, 则点P 的轨迹方程是 .解析:由抛物线的定义知, 点P 的轨迹是以F 为焦点, 定直线x+2=0为准线的抛物线, 故其标准方程为y 2=8x.答案:y 2=8x5.(2020年陕西卷, 理13)如图所示是抛物线形拱桥, 当水面在l 时, 拱顶离水面2 m, 水面宽4 m.水位下降1 m 后, 水面宽 m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 设抛物线方程为x 2=-2py(p>0),则A(2, -2), 将其坐标代入 x 2=-2py, 得p=1.∴x 2=-2y.当水面下降1 m, 得D(x 0, -3)(x 0>0), 将其坐标代入x 2=-2y 得20x =6,∴x 0, ∴水面宽 m.答案6.(2010年浙江卷, 理13)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F, 点A(0, 2), 若线段FA 的中点B 在抛物线上, 则B 到抛物线准线的距离为 .解析:由已知得B 点的纵坐标为1, 横坐标为4p , 即B ,14p ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 将其代入y 2=2px 得1=2p ×4p , 解得p=则B 点到准线的距离为2p +4p =34答案:考点二 抛物线的几何性质及其应用1.(2011年四川卷, 理10)在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4, x 2=2的两点, 过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切, 则抛物线顶点的坐标为( )(A)(-2, -9) (B)(0, -5) (C)(2, -9) (D)(1, -6)解析:当x 1=-4时, y 1=11-4a;当x 2=2时, y 2=2a-1, 所以割线的斜率k=1142142a a --+--=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0, 由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a, ∴2x 0+a=a-2, ∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1, -a-4), 切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.圆5x 2+5y 2=36的圆心到切线的距离.即(a-2)2+1=5. 又a ≠0, ∴a=4, 此时y=x 2+4x-5=(x+2)2-9, 顶点坐标为(-2, -9).故选A.答案:A2.(2009年四川卷, 理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1, 抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) (A)2 (B)3(C)115(D)3716解析:如图所示, 动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知, 距离和的最小值即F到直线l 1的距离=2.故选A.答案:A3.(2009年福建卷, 理13)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点, 若线段AB 的长为8, 则p= .解析:∵F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, ∴设AB:y=x-2p , 与y 2=2px 联立, 得x 2-3px+24p =0.∴x A +x B =3p.∴|AB|=x A +x B +p=4p=8, 得p=2. 答案:24.(2010年大纲全国卷Ⅱ, 理15)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线为l, 过M(1, 0)线与l 相交于点A, 与C 的一个交点为B, 若AM u u u u r =MB u u u r, 则p= .解析:如图所示, 由AB ,知∠α=60°, 又AM u u u u r =MB u u u r, ∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°, ∴∠BAP=30°. ∴|BP|=12|AB|=|BM|, ∴M 为焦点, 即2p=1, ∴p=2. 答案:2考点三 直线与抛物线位置关系1.(2020年大纲全国卷, 理11)已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2, 2), 过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A 、B 两点, 若MA u u u r ·MB u u u r=0, 则k 等于( )(A)12(D)2解析:法一 设直线方程为y=k(x-2), A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2), 由()22,8,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得k 2x 2-4(k 2+2)x+4k 2=0,∴x 1+x 2=()2242k k+,x 1x 2=4,由MA u u u r ·MB u u u r=0,得(x 1+2, y 1-2)·(x 2+2, y 2-2)= (x 1+2)(x 2+2)+[k(x 1-2)-2][k(x 2-2)-2]=0, 代入整理得k 2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二 如图所示, 设F 为焦点, 取AB 中点P, 过A 、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为G 、H, 连接MF, MP,由MA u u u r ·MB u u u r=0,知MA ⊥MB, 则|MP|=12|AB|=12(|AG|+|BH|), 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线, 所以MP ∥AG ∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG ≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°, 则MF ⊥AB, 所以k=-1MFk =2.答案:D2.(2010年辽宁卷, 理7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F, 准线为l, P 为抛物线上一点, PA ⊥l, A 为垂足, 如果直线AF 的斜率为那么|PF|等于( )(B)8(D)16解析:如图所示, 直线AF 的方程为与准线方程x=-2联立得).设P(x 0代入抛物线y 2=8x,得8x 0=48, ∴x 0=6, ∴|PF|=x 0+2=8, 选B. 答案:B3.(2020年安徽卷, 理9)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A, B 两点, O 为坐标原点.若|AF|=3, 则△AOB 的面积为( )解析:如图所示, 由题意知, 抛物线的焦点F 的坐标为(1, 0), 又|AF|=3, 由抛物线定义知:点A 到准线x=-1的距离为3,∴点A 的横坐标为2. 将x=2代入y 2=4x 得y 2=8,由图知点A 的纵坐标∴∴直线AF 的方程为联立直线与抛物线的方程)21,4,y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解之得1,2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由图知B 1,2⎛ ⎝,∴S △AOB =12|OF|·|y A -y B |=12×1×32故选C.答案:C4.(2009年天津卷, 理9)设抛物线y 2=2x 的焦点为F, 过点, 0)的直线与抛物线相交于A, B 两点, 与抛物线的准线相交于点C, |BF|=2, 则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFCFS S △△A 等于( ) (A)45(B)23(C)47(D)12解析:如图所示, 设过点的直线方程为), 代入y 2=2x 并整理, 得k 2x 2k 2+2)x+3k 2=0,设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), 则x 1+x 2, x 1x 2=3, 因为|BF|=2, 所以|BB ′|=2, ∴x 2=2-12=32, 从而x 1=23x =2. 设点F 到直线AC 的距离为d,则BCF CF S S △△A =1212BC dAC d ⋅⋅=BC BB ACAA '='=2122+=45. 故选A. 答案:A5.(2009年大纲全国卷Ⅱ, 理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点, F 为C 的焦点, 若|FA|=2|FB|, 则k 等于( )(A)13(B)3(C)23(D)3解析:将y=k(x+2)代入y 2=8x, 得 k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A , x B , 则x A +x B =28k -4, ①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2, |FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =2163k -4+2=2163k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4. 解之得k 2=89.而k>0, ∴k=3, 满足Δ>0.故选D.答案:D6.(2020年安徽卷, 理13)已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A, B 两点.若该抛物线上存在点C, 使得∠ACB 为直角, 则a 的取值范围为 .解析:设直线y=a 与y 轴交于点M, 抛物线y=x 2上要存在C 点, 使得∠ACB 为直角, 只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x 2有交点即可, 也就是使|AM|≤|MO|, a(a>0), 所以a ≥1. 答案:[1, +∞)7.(2020年重庆卷, 理14)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A, B 两点, 若|AB|=2512, |AF|<|BF|, 则|AF|= .解析:由于y 2=2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 所在直线的方程为y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭, A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),x 1<x 2, 将y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y 2=2x, 得k 2212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2x,∴k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0.∴x 1x 2=14. 而x 1+x 2+p=x 1+x 2+1=2512, ∴x 1+x 2=1312. ∴x 1=13, x 2=34.∴|AF|=x 1+2p =13+12=56. 答案:568.(2010年重庆卷, 理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF u u u r =3FB u u u r , 则弦AB 的中点到准线的距离为 .解析:F 的坐标为(1, 0).设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), ∵AF u u u r =3FB u u u r,∴(1-x 1, -y 1)=3(x 2-1, y 2), ∴1-x 1=3x 2-3, 且-y 1=3y 2, 即x 1+3x 2=4, y 1=-3y 2. 设直线AB 的方程为y=k(x-1), AB 中点为P(x 0, y 0).由()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得ky 2-4y-4k=0. ∴y 1y 2=-4.∴21y =12, 22y =43. ∴x 1=3, x 2=13.∴x 0=122x x +=53. ∴中点P 到准线x=-1的距离d=53-(-1)= 83. 答案:839.(2020年辽宁卷, 理15)已知P, Q 为抛物线x 2=2y 上两点, 点P, Q 的横坐标分别为4, -2, 过P, Q 分别作抛物线的切线, 两切线交于点A, 则点A 的纵坐标为 .解析:y=12x 2, y ′=x, 由题意P(4, 8), k 1=y ′|x=4=4, 切线为y=4x-8,Q(-2, 2), k 2=y ′|x=-2=-2, 切线为y=-2x-2.由48,22y x y x =-⎧⎨=--⎩得A(1, -4). 答案:-410.(2020年北京卷, 理12)在直角坐标系xOy 中, 直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F, 且与该抛物线相交于A, B 两点, 其中点A 在x 轴上方, 若直线l 的倾斜角为60°, 则△OAF 的面积为 .解析:∵抛物线y 2=4x,∴焦点F 的坐标为(1, 0). 又∵直线l 倾斜角为60°,∴直线方程为(x-1).联立方程)21,4,y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩解得111,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由已知得A 的坐标为∴S △OAF =12|OF|·|y A |=12×1×答案11.(2020年新课标全国卷, 理20)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F, 准线为l, A 为C 上一点, 已知以F 为圆心, FA 为半径的圆F 交l 于B, D 两点.(1)若∠BFD=90°, △ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;(2)若A, B, F 三点在同一直线m 上, 直线n 与m 平行, 且n 与C 只有一个公共点, 求坐标原点到m, n 距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形, |BD|=2p, 圆F 的半径又点A 到l 的距离而S △ABD ∴12|BD|·即12×2p ∴p=-2(舍去)或p=2, ∴圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(2)∵A 、B 、F 三点在同一直线m 上, 所以AB 为圆F 的直径, ∠ADB=90°. 又由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,∴∠ABD=30°, m 的斜率为当m , 可设n 方程为代入x 2=2py 得x 2px-2pb=0, 由于n 与C 只有一个公共点, 故Δ=43p 2+8pb=0 ∴b=-6p, 又∵m 的截距b 1=2p, 1b b=3, ∴坐标原点到m 、n 距离的比值为3.当m 的斜率为, 由图形对称性知, 坐标原点到m 、n 的距离之比仍为3. 12.(2020年广东卷, 理20)已知抛物线C 的顶点为原点, 其焦点F(0, c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距, 设P 为直线l 上的点, 过点P 作抛物线C 的两条切线PA, PB, 其中A, B 为切点. (1)求抛物线C 的方程;(2)当点P(x 0, y 0)为直线l 上的定点时, 求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时, 求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)依题意, 设抛物线C 的方程为x 2=4cy,,结合c>0, 解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)抛物线C 的方程为x 2=4y,即y=14x 2, 求导得y ′=12x. 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)（其中y 1=214x , y 2=224x ）,则切线PA, PB 的斜率分别为12x 1, 12x 2. 所以切线PA 的方程为y-y 1=12x (x-x 1), 即y=12x x-212x +y 1, 即x 1x-2y-2y 1=0. 同理, 可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0. 因为切线PA, PB 均过点P(x 0, y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0, x 2x 0-2y 0-2y 2=0.所以(x 1, y 1), (x 2, y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x-2y 0-2y=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1, |BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得y 2+(2y 0-20x )y+20y =0,由根与系数的关系可得y 1+y 2=20x -2y 0, y 1y 2=20y , 所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=20y +20x -2y 0+1.又点P(x 0, y 0)在直线l 上, 所以x 0=y 0+2.所以20y +20x -2y 0+1=220y +2y 0+5=2（y 0+12）2+92. 所以当y 0=-12时, |AF|·|BF|取得最小值, 且最小值为92. 13.(2020年湖南卷, 理21)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1, k 2的两条不同直线l 1, l 2, 且k 1+k 2=2, l 1与E 相交于点A, B, l 2与E 相交于点C, D, 以AB, CD 为直径的圆M, 圆N(M, N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0, k 2>0, 证明:FM u u u u r ·FN u u u r <2p 2; (2)若点M 到直线l求抛物线E 的方程. 解:(1)由题意知, 抛物线E 的焦点为F 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，,直线l 1的方程为y=k 1x+2p . 由12,22p Y k x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 得x 2-2pk 1x-p 2=0.设A, B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2),则x 1, x 2是上述方程的两个实数根, 从而x 1+x 2=2pk 1, y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p 21k +p. 所以点M 的坐标为（pk 1, p 21k +2p）, FM u u u u r=(pk 1, p 21k ).同理可得点N 的坐标为(pk 2, p 22k +2p), FN u u u r=(pk 2, p 22k ),于是FM u u u u r·FN u u u r =p 2(k 1k 2+21k 22k ). 因为k 1+k 2=2, k 1>0, k 2>0, k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=1.故FM u u u u r ·FN u u u r <p 2(1+12)=2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+2p, |FB|=y 2+2p, 所以|AB|=y 1+y 2+p=2p 21k +2p, 从而圆M 的半径r 1=p 21k +p. 故圆M 的方程为(x-pk 1)2+(y-p 21k -2p )2=(p 21k +p)2, 化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(221k +1)y-34p 2=0. 同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(222k +1)y-34p 2=0. 于是圆M, 圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(22k -21k )y=0. 又k 2-k 1≠0, k 1+k 2=2, 则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离为2117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭故当k 1=-14时,d由题设, 解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.14.(2020年陕西卷, 理20)已知动圆过定点A(4, 0), 且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知点B(-1, 0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是∠PBQ 的角平分线, 证明直线l 过定点.(1)解:如图所示, 设动圆圆心O 1(x, y),由题意, |O 1A|=|O 1M|, 当O 1不在y 轴上时, 过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H, 则H 是MN 的中点,∴|O 1又|O 1化简得y 2=8x(x ≠0).又当O 1在y 轴上时, O 1与O 重合, 点O 1的坐标(0, 0)也满足方程y 2=8x,∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2=8x.(2)证明:由题意, 设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0), P(x 1, y 1), Q(x 2, y 2),将y=kx+b 代入y 2=8x 中, 得k 2x 2+(2bk-8)x+b 2=0,其中Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系得, x 1+x 2=282bkk -, ① x 1x 2=22b k , ② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以111y x +=-221yx +, 即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x 2)+2b=0, ③ 将①②代入③,得2kb 2+(k+b)(8-2bk)+2k 2b=0,∴k=-b, 此时Δ>0, ∴直线l 的方程为y=k(x-1), ∴直线l 过定点(1, 0).15. (2020年辽宁卷, 理20)如图, 抛物线C 1:x 2=4y, C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0, y 0)在抛物线C 2上, 过M 作C 1的切线, 切点A, B(M 为原点O 时, A, B 重合于O).当x 0, 切线MA 的斜率为-12.(1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时, 求线段AB 中点N 的轨迹方程(A, B 重合于O 时, 中点为O). 解:(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x, y)的切线斜率为y ′=2x , 且切线MA 的斜率为-12, 所以A 点坐标为(-1,14), 故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+ 14.因为点0)在切线MA 及抛物线C 2上, 于是y 0=-1214, ①y 0=-(212p-.② 由①②得p=2.(2)设N(x, y), A(x 1, 214x ), B(x 2, 224x ), x 1≠x 2, 由N 为线段AB 中点知x=122x x +, ③y=22128x x +.④切线MA, MB 的方程为y=12x (x-x 1)+ 214x .⑤y=22x (x-x 2)+ 224x .⑥由⑤⑥得MA, MB 的交点M(x 0, y 0)的坐标为 x 0=122x x +, y 0=124x x . 因为点M(x 0, y 0)在C 2上, 即20x =-4y 0,所以x1x2=-22126x x+.⑦由③④⑦得x2=43y, x≠0.当x1=x2时, A, B重合于原点O, AB中点N为O, 坐标满足x2=43 y.因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=43y.模拟试题考点一抛物线的定义和标准方程及其应用1.(2020福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点, P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点, 则|FP|的最小值是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4, 4), 半径为1, ∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时, |PF|取到最小值,由y2=4x知F(1, 0),∴|PF|min故选B.答案:B2.(2020山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线24x-25y=1的右焦点重合, 抛物线的准线与x轴的交点为K, 点A在抛物线上且则A点的横坐标为( )(B)3 (D)4解析:由24x-25y=1得c2=4+5=9.∴双曲线右焦点为(3, 0),∴抛物线焦点坐标为(3, 0), 抛物线方程为y2=12x.设d为点A(x0, y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故选B.答案:B考点二抛物线几何性质的应用1.(2020云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中, 有一定点A(2, 1), 若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点, 则该抛物线的准线方程是.解析:线段OA的斜率k=12, 中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.所以线段OA 的垂直平分线的方程是y-12=-2(x-1), 令y=0得到x=54. 即抛物线的焦点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭. 所以该抛物线的准线方程为x=-54. 答案:x=-542.(2020云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4, 4)在抛物线y 2=px(p>0)上, 该抛物线的焦点为F, 过点A 作直线l:x=-4p的垂线, 垂足为M, 则∠MAF 的平分线所在直线的方程为 .解析:点A 在抛物线上, 所以16=4p, 所以p=4, 所以抛物线的焦点为F(1, 0), 准线方程为x=-1, 垂足M(-1, 4), 由抛物线的定义得|AF|=|AM|, 所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线, k MF =4011---=-2, 所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y-4=12(x-4), 即x-2y+4=0.答案:x-2y+4=0考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2020河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB, 则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (A)34(B)32(C)1 (D)2解析:易知, AB 的斜率存在, 设AB 方程为y=kx+b.由2,4y kx b x y =+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4b=0. 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), 则x 1, x 2是上述方程的两个根, ∴x 1+x 2=4k, x 1·x 2=-4b,又|AB|=6,化简得b=()2941k +-k 2,设AB 中点为M(x 0, y 0),则y 0=122y y +=122kx b kx b +++=()122k x x ++b=2k 2+()2941k +-k 2=k 2+()2941k +=(k 2+1)+ ()2941k +-1≥2×32-1=2. 当且仅当k 2+1=()2941k +, 即k 2=12时, y 0取到最小值2.故选D. 答案:D2.(2020北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合, 抛物线的准线与x 轴的交点为K, 点A 在抛物线上且则△AFK 的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)16(D)32解析:双曲线的右焦点为(4, 0), 抛物线的焦点为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，, 所以2p=4, 即p=8. 所以抛物线方程为y 2=16x, 焦点F(4, 0), 准线方程为x=-4,即K(-4, 0), 设A(x, y),由于 ∴|y|=x+4, 又y 2=16x,∴(x+4)2=16x, 即x=4.∴A(4, ±8), S △AFK =12×8×|y|=32.故选D. 答案:D3.(2020北京海淀高三上期末)已知E(2, 2)是抛物线C:y 2=2px 上一点, 经过点(2, 0)的直线l 与抛物线C 交于A, B 两点(不同于点E), 直线EA, EB 分别交直线x=-2于点M, N. (1)求抛物线方程及其焦点坐标; (2)已知O 为原点, 求证:∠MON 为定值. 解:(1)∵点E(2, 2)在抛物线y 2=2px 上,∴4=2p ×2, ∴p=1.∴抛物线方程为y 2=2x, 焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭. (2)显然, 直线l 斜率存在, 且不为0. 设l 斜率为k, 则l 方程为y=k(x-2).由()22,2.y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得ky 2-2y-4k=0,设A 211,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, B 222,2y y ⎛⎫⎪⎝⎭. 则y 1+y 2=2k, y 1·y 2=-4. ∵k EA =121222y y --=121242y y --=122y +. ∴EA 方程为y-2=122y +(x-2). 令x=-2, 得y=2-182y +=11242y y -+. ∴M 11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 同理可求得N 22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ∴OM u u u u r ·ON u u u r =11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭·22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=4+()()()()1212242422y y y y --++=4+()()12121212481624y y y y y y y y -+++++=0∴OM u u u u r ⊥ON u u u r .即∠MON=90°,∴∠MON 为定值.综合检测1.(2020东北三校第二次联考)若抛物线y 2=2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值为( ) (A)2 (B)18 (C)2或18 (D)4或16解析:设P(x 0, y 0), 则0020010,26,2,p x y y px ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴36=2p 102p ⎛⎫-⎪⎝⎭, 即p 2-20p+36=0. 解得p=2或18.故选C. 答案:C3.(2020陕西五校联考)设动点P(x, y)(x ≥0)到定点F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12.记点P 的轨迹为曲线C. (1)求点P 的轨迹方程;(2)设圆M 过A(1, 0), 且圆心M 在P 的轨迹上, BD 是圆M 在y 轴上截得的弦, 当M 运动时弦长BD 是否为定值?说明理由; (3)过F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S, 求四边形GRHS 面积的最小值. 解:(1)由题意知, 所求动点P(x, y)的轨迹为以F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点, 直线l:x=-12为准线的抛物线, 其方程为y 2=2x.(2)是定值.解法如下:设圆心M 2,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭, 半径圆的方程为222a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y-a)2=a 2+2212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,令x=0, 得B(0, 1+a), D(0, -1+a), ∴BD=2, 即弦长BD 为定值.(3)设过F 的直线GH 的方程为y=k 12x ⎛⎫-⎪⎝⎭, G(x 1, y 1), H(x 2, y 2), 由21,22,y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0,∴x 1+x 2=1+22k , x 1x 2=14,∴=2+22k ,同理得|RS|=2+2k 2. S 四边形GRHS =21222k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2+2k 2)=22212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥8(当且仅当k=±1时取等号). ∴四边形GRHS 面积的最小值为8.2.(2020洛阳二模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F, 过F 的直线与该抛物线相交于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点, 则21y +22y 的最小值是()(A)4 (B)8 (C)12(D)16解析:抛物线的准线方程为x=-1, ∴|AF|=x 1+1, |BF|=x 2+1, ∴21y +22y =4x 1+4x 2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.∵|AB|的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得), ∴21y +22y 的最小值为8.故选B.答案:B。