证明见参考文献[4].
再回到上述例 1，我们根据定理 4 也可以看出其不正定，因为矩
阵 A 的一个 2 级顺序主子式
1 2
2 1
=- 3＜0.
4 总结
2 关于正定二次型判定定理的分析
（f x1，x2，…，xn）正定
（f x1，x2，…，xn）不正定
定理 2 n 元实二次型 （f x1，x2，…xn）正定的充分必要条件是它的
● 【参考文献】
［1］David y.线性代数及其应用[M].沈复兴,傅莺莺，等，译.人民邮电出版社, 2007. ［2］王海东.正定二次型的刻划定理及其程序[J].长春大学学报,2006,16(3):27- 30. ［3］牛滨华，孙晟，孙春岩,等.地震波的场方程矩阵和能量的正定二次型及其意 义[J].地球物理学进展,2007,22(2):353- 358. ［4］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数.第三版[M].北京： 高等教育出版社,2003.
作者简介: 高义(1980—),男,讲师,硕士,主要 研 究 方 向 为 函 数 逼 近 论 和 小 波 分析。
※基金项目: 北方民族大学科 学 研 究 项 目 资 助 （2008Y029）；北 方 民 族 大 学 教 学 研 究 重 点 项 目 资 助 （2008TR-ZD ）。
[责任编辑：曹明明]
2010 年 第 11 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○本刊重稿○
科技信息
关于正定二次型判定的教学设计
高义 （北方民族大学信息与计算科学学院 宁夏 银川 750021）
【摘 要】本文对正定二次型的定义和判定条件做了分析和讨论，给出一个经过实践有良好教学效果的教学设计. 【关键词】正定二次型；惯性指数；顺序主子式
（f c1，c2，…cn）≤0, 则可以断定二次型 （f x1，x2，…xn）不是正定的.
A=CTEC=CTC,
两边取行列式，有
A = CT C = C 2＞0.
nn
ΣΣ 推论 3 实二次型 （f x1，x2，…,xn）=
aijxixj=XTAX 正定的必要
i = 1j = 1
条件为 A ＞0.
这里，我们禁不住要问推论 3 中的必要条件是否为充分条件呢？
由此可见，A ＞0 不是 （f x1，x2，…，xn）正定的充分条件，那么再 加入怎样一些条件 （f x1，x2，…，xn）才可以正定呢？于是就很自然地引 入如下的充分必要条件.
nn
ΣΣ 定理 4 二次型 （f x1，x2，…，xn）=
aijxixj=XTAX 正定的充分必
i = 1j = 1
要条件为矩阵 A 的所有顺序主子式全大于零.
i = 1j = 1
称对称矩阵 A 正定.
定义 3 子式
a11 a12 … a1i
Pi=
a21 ┆
a22 ┆
… a2i （i=1，2，…n） ┆┆
ai1 ai2 … aii
称为矩阵 A=（ai）j nn 的顺序主子式. 定理 3 一个实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.
这可由定义 2 以及推论 1 即可说明.
440
埚（c1，c2，…cn）≠（0，0，…，0）, （f c1，c2，…cn）≤0
正惯性指数 P＜n
n
Σ 规范形不为 yi2 i=1
存在一顺序主子式 Pk≤0
矩阵 A 与单位矩阵 E 不合同
注：本文只讨论实二次型 （f x1，x2，…，xn）的正定性，对于不定的具 体情况如半正定、负定、半负定、不定的二次型未作讨论. 科
推论 2 正定矩阵的行列式大于零.
证明：设 A 是一正定矩阵，因为 A 与单位矩阵合同，所以存在可
逆矩阵 C，使
坌（c1，c2，…cn）≠（0，0，…，0）, （f c1，c2，…cn）＞0
正惯性指数 P=n
n
Σ 规范形为 yi2 i=1
所有顺序主子式 Pi＞0，i=1，2，…，n
矩阵 A 与单位矩阵 E 合同
正惯性指数等于 n.
为证明这个定理，我们需要如下引理.
引理 1[4] 非退化实线性替换保持正定性不变.
定理 2 的证明：设实二次型 （f x1，x2，…xn）经过非退化实线性替换
变成标准形
d1y12+d2y22+…+dnyn2.
(1)
由引理 1，（f x1，x2，…xn）正定当且仅当(1)是正定的，而由定理 1 知
显然，二次型 （f x1，x2，…xn）=x12+x22+…+xn2
是正定的. 不仅如此，我们可以根据定义证明如下的结论： 定理 1 实二次型
（f x1，x2，…xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2 是正定的当且仅当 di＞0，i=1，2，…n. 证明: 必要性.因为 （f x1，x2，…xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2 是正定的，所 以对于任意的一组不全为零的实数 c1，c2，…cn，都有 （f c1，c2，…cn）＞0. 于是取一组不全为零的实数：0，0，…，0，1，0，…0(这里第 i 个为 1，其 余 n- 1 个为 0)，有 （f 0，0，…，0，1，0，…0）=di＞0，i=1，2，…n. 充分性显然. 通过定义，只要我们能够找到一组不全为零的实数 c1，c2，…cn，使 得
正定二次型在实二次型中占有特殊的地位，并且在后继课程学习 中显得尤为重要，其应用也非常广泛[1,2,3].什么是正定二次型或者怎么 去判定二次型是教学或学习的关键.本文就此作一分析和讨论，给出 一个经过实践有良好教学效果的教学设计.
1 关于正定二次型定义的分析
定义 1 （f x1，x2，…xn）设是实二次型，如果对于任意一组不全为零 的实数 c1，c2，…cn，都有 （f c1，c2，…cn）＞0，则称 （f x1，x2，…xn）是正定二次 型.
我们看如下例子：
例 1 （f x1，x2，x3）=x12+x22+x32+4x1x2-4x1x3-4x2x3 . 1 2 -2
A = 2 1 - 2 =5＞0，
-2 1
但是取（0，1，1）≠（0，0，0），（f 0，1，1）=1+1- 4=- 2＜0 则上述 （f x1， x2，x3）不正定.
(1)正定当且仅当 di＞0，i=1，2，…n，即正惯性指数为 n.
推论 1 n 元实二次型 （f x1，x2，…xn）正定的充分必要条件是它的
规范形为
y12+y22+…+yn2.
3 正定二次型和其系数矩阵的关系
nn
ΣΣ 定义 2 如果实二次型 （f x1，x2，…,xn）=
aijxixj=XTAX 正定，则