是正定的，因为只有在 c1 = c2 = … = cn =0 时， c12 + c22 + … + cn2 才为零.
2. 两个基本结论
1) 实二次型
f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2
正定的充分必要条件是 di > 0 , i = 1, 2, … , n .
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 x1x2 x2 x3
是否是正定二次型.
解法 1 用配方法
解直接法配2方得用初等变换法

1
f
(
x1,

x12
,
x3 )
0
则其 标12 准形11为2(x1
1
2
x2

x12 x22
)2

3 4
四.教具、教学素材准备： 1.教具：多媒体教室、黑板、刷子 、粉笔等。
2.教学素材：网上各大学的电子课件。
花树忠，二次型理论在求解多元二次函数最值方面上的应用，职 大学报，2002（4）
3.参考书：
1、丘维声，《高等代数》（上、下册），高等教育出版社， 2002年，第二版。
2、张禾瑞、郝炳新，《高等代数》，高等教育出版社，1999年， 第四版。 3、王向东、周士藩，《高等代数常用方法》，科学出版社，1989 年，第二版。 4、杨子胥，《高等代数习题解》(上、下册)，山东科学技术出版 社，2001年，第二版。
正定二次型
一．内容分布
正定二次型
正定二次型的判别 二.教学目标 1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负 定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定 二次型的概念。
2．掌握实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) X AX 正定的判 定定理。 三.教学重点、难点 实二次型 f (x1, x2,, xn ) X AX 正定的判定。
化实线性替换变成标准形 d1x12 + d2x22 + … + dnxn2
由前面讨论的基本结论 1 知，该标准形是正定的当
且仅当 di > 0 , i =1, 2, … , n , 即正惯性指数为 n . 再
由基本结论 2 即得.
证毕
定理 6 说明，正定二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的
称矩阵，由推论 2 知，正定矩阵 A 是可逆的， 且
( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ，
所以 A-1 也是实对称矩阵. 证明其正定性的方法很
多.
方法 1
方法 2
方法 3
对二次型 XTA-由1 X于作正非定退矩化阵线由A性于合替同A换于正X单定=位，AY矩所，阵以存E
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
1. 定义
定义 7 实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 称为正 定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1 , c2 ,
… , cn 都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) > 0 .
例如 二次型
f ( x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xn2
( x2
初等变换
x32
32 100xx31)x220043

x2 x03
2 3
x032
2
3
.
2. 顺序主子式法
有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个
二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或
规范形. 下面来解决这个问题. 为此，引入
定义 9 子式
a11 a12 a1i
Pi
证明 充分性是显然的. 下面来证必要性，
用反2证) 法非，退设化存实在线d性i 替0换, 于保是持取正x定i =性1不, x变j =. 0 (ji),
便有证明 1 设实二次型
这与证f二(明次x1型,f2x(正20,,定设…相实,,f0x矛二=,n1)盾X次,T0.型A, …iXn1
证明 设 A 为实对称矩阵，则由
有
实对称矩阵 A 正定 等 价
实二次型 XTAX 正定 等 价
实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2
实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2
等 价
矩阵 A 与 E 合同 等 价
存在可逆矩阵 C，使 A = CTEC = CTC .
证毕
推论 2 正定矩阵的行列式大于零. 证明 设 A 是一正定矩阵，则由推论 1 知，
存在可逆矩阵 C，使 A = CTC .
两边取行列式，就有 | A | = | CT | | C | = | C |2 > 0 .
证毕
例 1 证明：若 A 是正定矩阵，则 A-1 也是正
定的.
证明 由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对
五.教学方法：
启发式讲授法、课外阅读法、练习法等。
六.教学时数：3学时
七.教学过程：
第四节 正定二次型
主要内容
正定二次型的定义 实二次型正定性的判别方法 实二次型的其他类型及其判别法 正定矩阵的应用举例
一、正定二次型的定义
在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 因 为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问 题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条 件也要用到它. 在这一节中，我们给出它的定义以 及常用的判别条件.
,
0n )
j 1
a=idj xi ix0j,
,
aij
a ji
,
作非退化线性替换
二、实二次型正定性的判别方法
1. 惯性指数法
定理 6 n 元实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是正
定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n .
证明 设二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退
规范形为
y12 + y22 + … + yn2 .
定义 8 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二
次型 XTAX
正定. 因为二次型 x12 + x22 + … + xn2 的矩阵是单位
矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它 与单位矩阵合同，由此得：
推论，使得 A = CTC.

a21
a22

a2i (i 1,2,, n)
ai1 ai2 aii
称为矩阵 A = ( aij )nn 的顺序主子式.
定理 7 实二次型
nn
f (x1, x2,, xn )
aij xi x j X T AX