2 y
v0 θ Y x X
cosα
2 2 v sin 0 v 2 gY Y 2g （4）极值讨论 secα cscα 2 v 2 0 v 当θ=450时， X m 0 0 Y g 当θ=90 时， m 2g （5）轨迹方程 g 2 x v0 cos t y 2 x tan x 1 2 2 2v0 cos y v0 sin t gt 2
平抛运动
斜抛运动
（1）螺旋运动
（2）漂移圆周运动
平面螺旋
螺距运动
一．平抛运动 例1．如图所示，球1和球2均从同一点水平抛出，起抛 点离水平地面的高度为H，水平速度分别为v1和v2（v1> v2）。球1抛出后刚好能越过位于xp处的竖直杆顶端， 并落于地面上的R点，R点与O点的距离为R。球2抛出 后落于地面，与地面做弹性碰撞，反弹后也刚好能越 过杆顶，并落在同一点R。试求： （1）两球初速度的比值； y （2）杆的位置xp； v2 v1 （3）杆的高度h。
2 b 4ac 2 s 4 gs 2 ( gs 2 2 0 h) 0 2 2 0


2
02 gh g h 2 s 2
故要对手榴弹做功的最小值为
W
1 1 2 m 0 m( gh g h 2 s 2 ) min 2 2
例4．如图所示，一人从离地平面高为h处以速率v0斜 向上抛出一个石子，求抛射角为多少时，水平射程最远？ 最远射程为多少？
因初速v0、末速v均为定值，显然当二者夹角 为900时，S最大，因而x最大，所以有：
gt
1 1 1 2 gx v0 v v0 v0 2 gh 2 2 2
2 v0 v0 2 gh xm g
例5．一礼花竖直向上发射，达到最高点爆炸。设各碎 片以相同的速率v0，向四面八方炸开，试证明各碎片在 下落过程中始终保持在同一球面上面，并求球面半径 与球心位置随时间变化的规律（忽略空气阻力）。
表述方式之二 ：
平抛运动中，任一时刻物体速度的反向延长线与初速 度延长线的交点，是这段时间内物体水平位移的中点。
证明：如图所示，任取点P，作其切线 的反向延长线交x轴与A点 x 1
O
A v 0
y
P
y
vx
vy v
gt 2 x OA v0
1 OA x 2
gt 2
简化表述方式：交点是中点
点评二：此题中小球的轨迹方程
v0 v 2 gh xm g
2 0
arcsin
v0
2 2v0 2 gh
解法二：设抛射角为α
y
x v0 cos t
1 2 - h v0 sin t gt 2
α
x
1 2 4 2 2 2 2 g t ( gh v0 )t (h x ) 0 4
θ
解析：
建立图中所示直角坐标系
x轴方向：初速度？加速度？
小球的运动分解为： y轴方向：初速度？加速度？ y （1）小球在空中的运动时间 2v0 tan 2v0 sin g cos t t g v0 （2）小球离斜面的最大高度
g
(v0 sin ) 2 g cos H
z
点评: （1）速度的分解
v0 v0x
2 2 2 2 v0 v0 v v x oy oz
v0z o
v0y
（2）运动分析
x
X方向： Y方向： Z方向：
y
z
解析： 以爆炸时刻为零时刻，爆炸点为坐标原 点，建立如图所示直角坐标系，对任一碎片 在时刻t，其位置坐标为：
x v0 x t
v0z o v0y v0 v0x
解法一：设抛射角为α，运动时间为t
y
x v0 cos t
1 2 - h v0 sin t gt 2
1 2 (v0t ) x ( gt h) 2 2
2 2
α
x
当
2 g 2 x 2 t 4 (v0 gh)t 2 h 2 4 2 2 v b 2 0 2 gh 2有极值，x有极值 时， x t 2a g2
x
（ 3） 球 1：
g 2 yH 2 x 2v1
两个特殊点：（xp，h）和（R，0）
g R 2 hH 2 ( ) 2v1 2 g 2 0H 2 R 2v1
y
v2 H
O
v1 h
3 h H 4
R/3 xp 2R/3 R
x
例2．如图所示，在一倾角为θ的斜面上，以初速度v0水 平抛出一小球，落到斜面上，不计空气阻力，试讨论下 列问题： （1）小球在空中的运动时间； （2）小球离斜面的最大高度； （3）证明小球落到斜面上时的速度方向与水平初速度v0 无关。 v0
g 2 yH 2 x 2v0
点评三：运动的对称性分析 小球1：起抛点、杆的顶端、落地点R； 小球2：
R 第一次落地点： x1 3
起抛点；
y
v2 H
O
v1
h
杆的顶端； 2R 反弹到最高点： x2 3 落地点R。
R/3 xp 2R/3 R
x
解析： （1）由平抛运动轨迹方程有： 球 1： 落地点坐标：（R，0）
2
例6.初速度为v0 的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试 求出空间安全区域的边界的方程．
2
x
θ
2 v0 sin 2 H 2 g cos
（3）证明
tan 2 tan
二．斜抛运动 例3．（2014模拟）大学新生军训演练中，同学们正在 教官指导下进行投掷训练。 （1）若已知手榴弹出手时速率为v0，与水平方向的夹角 为θ，则手榴弹在空中运动的最小速率为多少？ （2）若已知手榴弹出手时速率为v0，则其与水平方向夹 角为多少时射程最远？最远射程为多少？ （3）若已知目标离投掷点（手榴弹脱手时的位置）的 水平距离为s，竖直高度为h，手榴弹质量为m。要准确 命中目标，对手榴弹至少要做多少功？（以上过程中， 均忽略空气阻力。）
再用辅助角公式求解
解法四：将斜抛运动分解为v0方向的匀速 运动和自由落体运动
v0 t
x y
其位移矢量图如右所示
由图可知：
1 2 x (v0t ) ( gt h) 2 2
2 2
其他与解法一相同。
解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的 矢量图如右，该矢量图的面积
v0
vx
v
1 1 1 S v x gt g (v x t ) gx 2 2 2
（4）质点运动的轨迹方程
y
运动方程
r r (t ) x(t )i y (t ) j
P(x,y) y
x x(t ) y y (t )
轨迹方程
r
O x x
x x(t ) 消去t f ( x, y ) 0 y y (t )
x
y v0 y t
1 2 z v0 z t gt 2
y
1 2 2 2 2 2 2 2 2 gt ) (v0 v v ) t v t R x oy oz 0 2 式中0为任一碎片的初速率，与抛射角无关，对于每一给 定时间t，上述方程式是一个球面方程，球面半径R=0t， 1 ， gt 即R随时间t成正比不断增大，球心位置为（0，0 ）， 2 表明球心位置始终保持在z轴上，且随时间以重力加速度g 加速下降。 x2 y2 (z
x
g y H 2 ( x a) 2 2v0
（5）两点讨论 位移的讨论
O s x α
v0
y
x v0t
x
方向：
1 2 y gt 2
y 速度的讨论
O
s x2 y2
v x v0
1 2 gt y 2 gt tan x v0t 2v0
v0
y β vx
x
方向：
v y gt
y
点评：斜抛运动要点分析
（1）运动的分解 水平方向： vx v0 cos 竖直方向： v y v0 sin （2）空中运动时间t 2v0 sin v0 sin v0 sin g t sinα t g （3）射程X和射高Y 2 2v0 sin v0 X v x t v0 cos sin 2 g g tanα
0
2 v0 v0 2 gh xm g
解法三：设抛射角为α，任一时刻t
y
x v0 cos t
1 2 y v0 sin t gt 2
gx 2 y x tan 2 2v0 cos 2
α
x
当y=-h时，x=s
2 2 gs gs 2 v0 2 2( s tan h) cos s sin 2 h cos 2 h
2
因手榴弹准确命中目标，故目标位置满足位置方程，即： s v0 t cos
h v0 sin t 1 2 gt 2
消除参数t，得：
gs 2 h s tan 2 (1 tan 2 ) 2 0
即： gs 2 tan 2 2 02 s tan ( gs 2 2 02 h) 0
x0 0
2v0 sin t t 2 2v0 sin v0 sin 2 L v0 cos g g g
2 因此，当θ=450时，射程最远。 v0 最远射程为： Lmax g
v y0 v y0
（3）设的手榴弹出手时速度为v0，方向与水平地面成θ角，以投 掷点为坐标原点，竖直向上为y轴正方向，则t时刻手榴弹的位置 坐标为： x v0 cos t 1 y v0 sin t gt 2