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铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
目的： 研究过一点的各个面上的应力 情况，找到过该点的最大应力（正 应力，切应力），以及其平面方位。
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三、如何描述一点的应力状态
单元体
dz
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主单元体：在单元体各侧面只有正应力而无剪应力
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3
主应力：主平面上的正应力。 主方向：主平面的法线方向。
约定：
2
1 1 2 3
应力状态的分类
2
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3
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。 二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不等于零的情况。 三向应力状态：三个主应力皆不等于零的情况。
F
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F
L
F
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L
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ｐ
''


'

'


pD 4
'

''
''
pD 2
pD 4




M
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主应力、主平面
P


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x 10MPa, y 30MPa 解：
a

xy 20MPa, yx 20MPa, 30
30
10MPa
30
0

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
b
30
0
20MPa
x
30
10 30 10 30 cos 60 20sin 60 2 2
y
pD y 2
2 l
y
x
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y
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态: 二向不等值拉伸应力状态
y x
二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态
（壁厚为 ，内直径为D， <<D，内压为p）
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ｐ
My Iz
Fs S * z bI z
平面应力状态
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提取 点的应力状态
P
P
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L/4
L/4
提取圆截面梁上危险点的应力状态
①判断危险面 ←内力图 ②危险点 ←应力分布规律→应力状态
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本章难点
提取危险点处应力状态；
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应力状态是一切应力分析的基础；
1 、拉压变形杆件
①判断危险面 ←内力图 ②危险点 ←应力分布规律→应力状态
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F
F
F x A
单向应力状态
1 提取拉压变形杆件一点的应力状态
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tan 2α0＝－
2τ xy σx σ y
用解析法确定结构中主应力方向的一种简便方法 吴国政
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二向应力状态主平面、主剪应力平面位置浅析 董天立 平面应力状态最大主应力方向的剪应力判别法 张黎明
例题２
P
x
70
y
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50
（1）垂直方向等于零的应力是代数值较大的应力， 解： 故取轴的方向垂直向上
二、单元体的局部平衡
y yx
x

y
xy x x
y
x
xy
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yx
y
二、单元体的局部平衡
Fn 0
+ 0
x


xy

t
n
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yx
dA
y
dA
x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2




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x
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2
yx
xy
纯剪切应力状态
3 提取扭转变形杆件一点的应力状态
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T IP

T Wt
纯剪切应力状态
4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
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M Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
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4
0
pD x 4
3、三向应力状态实例
滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
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σ
Z
σx σy
火车车轮与钢轨的接触点处于几向应力状态？
1、已知薄壁容器的内压为ｐ，内径为D，壁 厚为ｔ，画出下列各种受力状态下危险点的 应力状态。
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（二）应力的面的概念
FP
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FP
FP
FP
F
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F A
F
cos2

sin 2 2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？
哪一点？
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哪一点？
哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称
为这一点的应力状态；
二、为什么要研究应力状态？
两种材料的拉伸试验
铸铁拉伸 低碳钢拉伸
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塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
yx
x
y
xy
一般单向应力状态或纯剪切应力状态
y
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y
yx
x
xy
x x
单向应力状态
纯剪应力状态
一点的应力状态
三 向 应 力 状 态
特例
平 面 应 力 状 态
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单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语 主平面：单元体中剪应力等于零的平面。
l
判定变形
铅锤面内弯曲
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S
FP
a
M=FPL T=FPa
4
y
1
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z
2
3
S平面
x
4
Mz
1
4
Mx
z
FQy
1
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2
3
y
3
x
8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式. S平面
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F
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0 n
dA x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
F 0
t
dA (dA cos ) sin xy (dA cos ) cos x
单元体的性质：
dy
dx
a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等，等于通过该点的 平行面上的应力
一般三向（空间）应力状态
z
zx
x
x
z
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xz
zy yz
xy yx
y
y
一般平面应力状态
σy
τyx τ xy σx
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7.1 应力状态的概述 7.2 平面应力状态分析——解析法 7.3 平面应力状态分析——图解法
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7.4 三向应力状态
7.5 广义虎克定律
§7-1
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应力状态的概述
一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
x 0 、 y 70MPa 、 xy 50MPa 、 yx 50MPa
(2)求主应力
y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x


xy

t
n
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