50 x 100 x 100 cos 600 0
300
2
2
100MPa x
(3)求主应力：因为τxy = 0，所以有
1 100 MPa 2 0 3 100 MPa
(4)求最大剪应力：

100 100 100MPa
max
例题
例7-4 薄壁锅炉的平均直径D=1060 mm，壁厚t=25 mm，蒸气压力p=2.5 MPa，材料许用应力
[σ]=40 MP；按最大剪应力理论校核锅炉的强度。
σ’ p
σ’
p
σ’’
σ’’
强度不够，重新设计 pD
r3
1
3
2t
t

pD
2

0.033m
(5)用最大形状改变比能理论计算
210 109
3.11104
τα
σα
300
τxy
p.5
例题
例题
例7-4 薄壁锅炉的平均直径D=1060 mm，壁厚t=25 mm，蒸气压力p=2.5 MPa，材料许用应力
[σ]=40 MP；按最大剪应力理论校核锅炉的强度。
σ’ p
σ’
p
σ’’
σ’’
解：(1)由横截面分离体的平衡条件
' Dt p 1 D2 4
例题
（d） （1）应力分量 （2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆
p.9
例题
例题
例7-6. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求：
（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解： （1）应力分量
应力圆
（2）求主平面位置和主应力大小
p.10


2 60 80 40

1
20 450 0 22.50 0 90 112 .50
40MPa 60MPa 80MPa
(2)求主应力：

m a x m in


x
y
2

x

y
2
2

2 xy
80 40
例题
例题
3
4
5
2
应力状态分析和 6
1
强度理论
7
11
8 10
9
p.1
例题
例题
例7-1 已知图示单元体上的应力为σx=80MPa，σy=-40MPa，τxy’=-60MPa；求主应力、主平面、剪应 力极值和极值平面，并在单元体上表示出来。
解：(1)求主平面：
tg 2 0
2 xy x y
(3)求剪应力的极值和位置
40MPa 60MPa

m m
ax in



x

y
2
2
xy2
80MPa


80


40 2



602

2


84.9MPa 84.9MPa
α1 = α0+45 0 = 67.5 0 , 对应τmax
2

104.8MPa 64.9MPa
按代数值大小排列：
；

80


40
2来自6022

1 104 .8MPa 2 0 3 64.9MPa
由于σx >σy，则α0=22.50对应σ1
p.2
例题
例题
例7-1 已知图示单元体上的应力为σx=80MPa，σy=-40MPa，τxy’=-60MPa；求主应力、主平面、剪应 力极值和极值平面，并在单元体上表示出来。
' pD 26.5MPa 4t
(2)由纵截面分离体的平衡条件
2'' lt pDl
(3)确定主应力
'' pD 53MPa 2t
1 '' , 2 ' , 3 0
(4)用最大剪应力强度理论计算
r3 1 3 53MPa
p.6
例题

0.0285m
p.7
例题
例7-5 .在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为MPa。
例题
解：（a） （1）应力分量
（2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆
（-70、0）
τ (35,36.5)
600
σ （70、0）
p.8
例题
例7-5 .在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为MPa。
求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
解：（1）A点的应力状态 属二向应力状态，应力分量是
p.12
例题
例题
例7-7. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。试
2
p.4
例题
例题
例7-3 图示钢轴上作用一个力偶M=2500 kNm，已知D=60 mm，E=210 GPa， µ=0.28；圆轴表面上 任一点与母线成α =300方向上的正应变。
解：(1)取A点的单元体，应力状态为：
xy
T Wt

M
1 D3
58.95MPa
x y 0 16
(4)在单元体上标出它们的位置；
σ1
τmax
α0
σ3
p.3
例题
例7-2 已知图示正三角形单元体上的应力，求主应力和最大剪应力。 50MPa
解：(1)取出正三角形一半(直角三角形)，分析如图；
50MPa 300
86.6MPa
σx
86.6MPa
例题
50MPa 86.6MPa 100MPa
100MPa
(2)求σx的值；
例题
例题
例7-6. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求：
（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
（2）求主平面位置和主应力大小
（3）最大剪应力
p.11
例题
例题
例7-7. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。试
M A
300
(2)求斜截面上的正应力
300 xy sin 600 51.05MPa
σα+90o
300900 xy sin 2400 51.05MPa
(3)计算斜截面上的应变
1
300
E 300
1200
1 51.5 0.28 51.5106
1 2 2 2
r4
21
2
2
3
3
1
45.9MPa
强度不够，重新设计
r4
1 2 2 2
2
1
2
2
3
3
1
3 pD
4t
t
3 pD
4