7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求：
⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；
⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。
解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0
30α=-
（1）cos 2sin 2211.622
x y
x y
x
ασσσσ
σατα+-=
+
-=sin 2cos 293.32
x y
x MPa ασστατα-=+=
（2）max 261.82
x y
MPa σσσ+=
=
min 38.22x y
MPa σσσ+==
MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ
（3）13
max 130.92
MPa σστ-==
7.2扭矩m kN T ⋅=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο
30=α方向上的正应变。
设E=200GPa,
0.3υ=。
解：表面上任一点处切应力为：
max 59P
T
MPa W τ=
= 表面上任一点处单元体应力状态如图
30sin 251MPa στα=-=-
120sin 251MPa στα=-=
()
00430301201
3.310E
εσυσ-=
-=⨯
2
στ
τ
7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应
变4
100.2-⨯=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传
递的功率。
解：表面任一点处应力为
max 9550P
P
P T
n W W τ==
max 9550
P W n
P τ∴=
纯剪切应力状态下，0
45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=-
由广义胡克定律 ()11311E E
υ
εσυστ+=
-= 又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550
P W n
P τ=
，得109.4P KW =
7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο
60
方向上的正应变4
60101.4-⨯=ο
ε，E=200GPa ，0.3υ=，
试求荷载P 。
解：0P
A
σ= 204D P πσ=⋅
斜截面上 02
060cos
4
σσσα==
2001503cos 4
σσσα==
由广义胡克定律
()
0006015060134E E
υεσυσσ-=
-= 将060043E εσυ
=
-代入2
04
D P πσ=⋅
解得P=36.2KN
ο
7.5在一槽形刚体的槽内放置一边长为mm 10的正立方钢块，钢块与槽壁间无孔隙，当钢块表面受kN 6的压力（均匀分布在上表面）时，试求钢块内任意点的主应力。
已知
33.0=μ。
解：坐标系如图所示
易知： 0x ε= 0y σ= z P A
σ=- 由广义胡克定律
()1
x x y z E εσυσσ⎡⎤=
-+⎣
⎦
()1y y x z E
εσυσσ⎡⎤=-+⎣⎦ ()1
z z x y E
εσυσσ⎡⎤=-+⎣⎦ 解得 19.8x MPa σ=- 0y σ= 60z MPa σ=- 可知刚块内任一点的主应力为
10σ= 219.8MPa σ=- 360MPa σ=-
7.6试对铸铁零件进行强度校核。
已知：MPa t 30][=σ，
30.0=μ，危险点的主应力为：
MPa 29][1=σ，MPa 20][2=σ，MPa 20][3-=σ.
解：由题意，对铸铁构件应采用第一或第二强度理论 第一强度理论：[]129t MPa σσ=p
第二强度理论：()[]12329t MPa σμσσσ
-+=p
Y
X
Z
故零件安全。
7.7圆杆如图所示，已知mm d 10=，Pd T 10
1
=，试求许用荷载P 。
若材料为：
⑴ 钢材，MPa 160][=σ； ⑵ 铸铁，MPa t 30][=σ。
解：此为拉扭组合变形，危险点全部在截面周线上，应力状态如图
2
4P P
A d σπ=
= 21610p
T P W d τπ==
（1） 钢材 由第三强度理论[]2234r σστσ=+≤，得P=9.8KN
（2） 铸铁 由第一强度理论[]2211
42
2
r t σ
σστσ=
+
+≤，得P=1.32KN 7.8某种圆柱形锅炉，平均直径为mm 1250，设计时所采用的工作内压为23个大气压，在工作温度下的屈服极限MPa s
5.182=σ，
若安全系数为8.1，试根据第三强度理论设计锅炉的壁厚。
解：设该锅炉为薄壁圆筒结构，壁厚为δ，由题意容器承受的内压为
230.1 2.3P MPa =⨯= （一个大气压=0.1MPa ）
由薄壁圆筒的特点，可认为圆筒横截面上无切应力，而正应力沿壁厚和圆周都均匀分布，于是得圆筒横截面上的正应力为
T
P
δ
δσ4π4π2pD D D p A F =⨯=='τ
圆筒径向截面（纵截面）上的正应力，单位长度圆筒中以纵截面取的分离体如图所示
()''
221P N F F PD σ
δ==⨯⨯⨯=
得 ''
2PD
σδ
=
圆筒内壁上沿半径方向的正应力为
'''
P σ=-
故 12PD σδ=
24PD σδ= 3P σ=- 由薄壁圆筒的特点，4PD
δ
远大于P ,可认为30σ=。
由第三强度理论[]3132s r PD
n
σσσσσδ=-=≤=， 解得14.2mm δ≥
7.9在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力KN F 20=时，测得试样中段B 点处与其轴线成030方向的
线应变为
4301025.30
-⨯=ε。
已知材料
的弹性模量a GP E 210=，试求泊松比。
解：0100F
MPa A
σ=
= 0
2030cos 75MPa σσα== 0
20120cos 25MPa σσα==
由广义胡克定律
0030301201E
εσυσ⎡⎤=
-⎣⎦ 解得0.27υ=
7.10mm D 120=,mm d 80=的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩e M ，如图所示。
在轴的中部表面A 点处，测得与其母线成045方向的线应变为445106.20
-⨯=ε。
已知材料的
D
弹性常数a GP E 200=，3.0=ν。
试求扭转力偶矩e M 。
解：A 点处切应力e P P
M T
W W τ=
= 应力状态及主应力单元体如图
1στ=，20σ=，3στ=-
()0
1134511E E
υεεσυστ+==
-= 代入相关数据，解得
10.9e M KN m =•。