定积分及应用61887仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24第六章 定积分及其应用习题6-11、利用定积分的定义计算下列定积分：(1) ⎰-21 xdx ； 解：①令]2,1[)(-∈=C x x f ,因此]2,1[)(-∈R x f ,②取∆为]2,1[-的n 等分,此时有]31,)1(31[],[1ni n i x x i i i +--+-==∆-,n x i 3=∆=∆,.,,2,1n i =③取i i i ni x ∆∈+-==31ξ,于是 )3(33)31()(],[111∑∑∑===+-=+-=∆=∆ni n i n i i i i n n n n n i x f S ξξ 2)1(932++-=n n n , ④23293]2)1(93[lim ],[lim 20||||2 1 =+-=++-=∆=∞→→∆-⎰n n n S xdx n ξ.(2) ⎰10 dx e x . 解：①令]1,0[)(C e x f x ∈=,因此]1,0[)(R x f ∈,②取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1ni n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24③取i i i ni x ∆∈==ξ,于是 ∑∑∑=====∆=∆n i n i n i n i ni i i e n n e x f S 11111)(],[ξξ, ④n n n ni n i n x e e e n e n S dx e 1110||||1 0 111lim )1(lim ],[lim --==∆=∞→=∞→→∆∑⎰ξ 11lim )1(11lim )1(01-=--=--=→∞→e e t e e n e t t n n .2、利用定积分的几何意义,说明下列等式：(1)1210 =⎰xdx ； 解：因x y 2=,1=x 及0=y 围成的三角形的面积为1,因此由定积分的几何意义知1210 =⎰xdx . (2)4110 2π=-⎰dx x ；解：因圆形122=+y x 的面积为π,那么122=+y x ,0=x 及0=y 围成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为4π,因此由定积分的几何意义知411 0 2π=-⎰dx x .(3)0sin =⎰-ππxdx ；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24解：因x sin 为奇函数,那么由0=y ,x sin ,π≤≤x 0围成的面积为⎰π0 sin xdx ,而由0=y ,x sin ,0≤≤-x π围成的面积为⎰-0 sin πxdx ,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相反,因此0sin =⎰-ππxdx . (4)⎰⎰=-2 0 2 2 cos 2cos πππxdx xdx . 解：因x cos 为偶函数,那么由0=y ,x cos ,20π≤≤x 围成的面积为⎰2 0 cos πxdx ,而由0=y ,x cos ,02≤≤-x π围成的面积为⎰-0 2cos πxdx ,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相同,因此⎰⎰=-2 0 22 cos 2cos πππxdx xdx .3、讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=. ,0, ,1)(为无理数为有理数x x x D 在区间]1,0[上的可积性. 解：取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1ni n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i = 取i ξ为i ∆中的某个有理数,i η为i ∆中的某个无理数,于是 11)1()(],[111∑∑∑=====∆⋅=∆=∆n i n i i n i i i nx x D S ξξ, 0)0()(],[11=∆⋅=∆=∆∑∑==ni i n i i i x x D S ηη,由于1],[lim =∆∞→ξS n ,0],[lim =∆∞→ηS n ,于是)(x D 在]1,0[上的不可积.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢244、用定积分表示下列极限： (1) ∑=∞→+n i n in n 122lim ； 解：⎰∑∑∑+=∆=+=+=∞→=∞→=∞→1 0 211212211)(lim 1)(11lim lim dx x x f n ni i n n n i i i n n i n n i n ξ. 其中：①]1,0[11)(2C x x f ∈+=,]1,0[)(R x f ∈, ②取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1ni n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i = ③取i i i ni x ∆∈==ξ,于是 n ni x f S n i n n i i i 1)(11lim )(],[121∑∑=∞→=+=∆=∆ξξ, ④∑∑⎰=∞→=∞→+=+=+n i n n i n i n n nni dx x 122121 0 2lim 1)(11lim 11. (2) ∑=∞→+n i n i n 11lim ； 解：⎰∑∑∑+=∆=+=+=∞→=∞→=∞→1 0 11111)(lim 111lim 1lim dx x x f nni i n n i i i n n i n n i n ξ. 其中：①]1,0[11)(C xx f ∈+=,]1,0[)(R x f ∈, ②取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1ni n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24③取i i i ni x ∆∈==ξ,于是 nni x f S n i n n i i i 111lim )(],[11∑∑=∞→=+=∆=∆ξξ, ④∑∑⎰=∞→=∞→+=+=+n i n n i n i n nni dx x 111 0 1lim 111lim 11.习题6-21、估计下列积分的值： (1) ⎰-41 2)1(dx x ； 解：1)(2-=x x f ,]4,1[∈∀x ,1612≤≤x ,15102≤-≤x ,那么⎰-⋅<-<-⋅41 2)14(15)1()14(0dx x , ∴⎰<-<41 245)1(0dx x . (2) ⎰+45 4 2)cos 1(ππdx x ； 解：x x f 2cos 1)(+=,]45,4[ππ∈∀x ,21cos 1≤≤-x , 1cos 02≤≤x , 2cos 112≤+≤x ,那么 )445(2)cos 1()445(145 42ππππππ-⋅<+<-⋅⎰dx x , ∴ππππ2)cos 1(45 4 2<+<⎰dx x .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2431解：x x x f arctan )(=,]3,31[∈∀x ,3arctan 6ππ≤≤x , 33arctan 36ππ≤≤x x ,那么 )313(33arctan )313(363 31 -⋅<<-⋅⎰ππxdx x , )13(3arctan )311(63 31 -<<-⋅⎰ππxdx x ,∴32arctan 9331 ππ<<⎰xdx x .(4) ⎰-0 2 2dx e x x .解：41)21(22)(---==x x x ee xf ,]2,0[∈∀x ,49)21(02≤-≤x , 24841)21(412=≤--≤-x ,241)21(412e e e x ≤≤---那么 )02()02(22 0 412-⋅<<-⋅⎰--e dx e e x x ,22 0 41222e dx e ex x <<⎰--, ∴410 2 2222---<<-⎰e dx e e x x .2、比较下列各题中的两个积分的大小：(1) ⎰=1 0 21dx x I ,⎰=10 42dx x I ； 解：由于24x x ≤,]1,0[∈x ,所以11 0 21 0 42I dx x dx x I =<=⎰⎰.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24(2) ⎰=2 1 21dx x I ,⎰=2 142dx x I ； 解：由于42x x ≤,]2,1[∈x ,所以22 1 42 1 21I dx x dx x I =<=⎰⎰.(3) ⎰=4 3 1ln xdx I ,⎰=43 32)(ln dx x I ； 解：由于3)(ln ln 1x x ≤<,]4,3[∈x ,所以24 334 3 1)(ln ln I dx x xdx I =<=⎰⎰.(4) ⎰=1 0 1xdx I ,⎰+=10 2)1ln(dx x I ； 解：由于x x ≤+)1ln(,]1,0[∈x ,所以11 01 0 2)1ln(I xdx dx x I =<+=⎰⎰.(5) ⎰=1 0 1dx e I x ,⎰+=10 2)1(dx x I . 解：由于x e x ≤+1,]1,0[∈x ,所以11 01 0 2)1(I dx e dx x I x =<+=⎰⎰.3、设)(x f 及)(x g 在],[b a 上连续)(b a <,证明：(1)若在],[b a 上0)(≥x f ,且0)(≡/x f ,则0)( >⎰b a dx x f ； 证明：因)(x f 在],[b a 上连续,0)(≥x f ,且0)(≡/x f ,则),(0b a x ∈∃..t s 0)(0>x f ,这样0>∃δ..t s)(21)(0x f x f >,],[),(00b a x x x ⊂+-∈δδ, 那么⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x a b a dx x f dx x f dx x f dx x f 0000)()()()(δδδδ 0)(2)(210)(21000 000>=⋅=++≥⎰+-x f x f dx x f x x δδδδ.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24(2)若在],[b a 上0)(≥x f ,且0)( =⎰ba dx x f ,则在],[b a 上0)(≡x f ； 证明：由(1)显然.(3)若],[b a 在上)()(x g x f ≤,且⎰⎰=b a b a dx x g dx x f )()(,则若],[b a 在上)()(x g x f ≡.证明：由条件知在],[b a 上0)()()(≥-=x f x g x F ,0)(≥x F ,且0)( =⎰ba dx x F ,由(2)知在],[b a 上0)(≡x F ,即)()(x g x f ≡.习题6-31、计算下列各导数： (1) ⎰+321x dt t dx d ； 解：62232 0213)(1313x x x x dt t dx d x +=+=+⎰. (2) ⎰+42 21x x tdt dx d ； 解：48322243 21214)(12)(14142x x x x x x x x t dt dx d x x +-+=+-+=+⎰. (3)⎰x x dt t dxd cos sin 2)cos(π. 解：x x x x dt t dx d x xcos ])(sin cos[sin ])(cos cos[)cos(22cos sin 2⋅-⋅-=⎰πππ.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢242、计算下列各积分： (1) 2)2()3(23023 0 2a a x x dx x x aa -=-=-⎰； (2) 82124632312223132)313()1(3333321332 1 42==⋅-⋅=⋅-=-=+⎰x x dx x x ； (3) 67)2132()232()1(012230 1-=+-=+=+⎰x x dx x x ； (4) 631 arctan arctan 1010 31 2π-=-==+⎰x x dx ； (5) 621 arcsin arcsin 121021 0 2π===-⎰x x dx ； (6) a a a x a x a dx a a 33arctan 1arctan 1303 0 22π===+⎰； (7) 621 arcsin 2arcsin 41010 2π===-⎰x x dx ； (8)21)arctan 2()123(12330130 1 220 1 224π+=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x ；24(9) 1|1|ln 1212 1 -=+=+------⎰e e x dx xdx ；(10) 41)(tan )1(sec tan 404240 2πθθθθθθπππ-=-=-=⎰⎰d d ；(11) dx x dx x dx x ⎰⎰⎰-=ππππ2 02 0sin sin |sin |422cos cos 20=+=+-=πππθθ；(12) dx x f ⎰2 0)(,其中⎩⎨⎧≥<=.1 ,,1 ,)(2x x x x x f解：617)3138(2132)(2131022121 02 0=-+=+=+=⎰⎰⎰x x dx x dx x dx x f .3、求下列极限：(1)1lim 1lim lim 222200000====→→→⎰⎰x x x x t x x t x e e dt e dx d x dt e ；(2)32022003202200320220sin sin sin 2lim sin )sin (lim sin )sin (lim x x dt t x dt t t dx d dt t dx d dtt t dt t xx x x x x x x ⎰⎰⎰⎰⎰→→→==； 322030203020220cos 3sin lim 2)(sin sin lim 2sin sin lim sin lim 2x x x x dxd dt t dx d x dt t x x x x x xx x →→→→===⎰⎰2432cos 1lim sin lim 3230220==→→x x x x x .4、设⎰=xtdt x f 0sin )(,求)0(f ',)4(πf '.解：显然x x f sin )(=',于是0)0(='f ,224sin )4(=='ππf .5、求由方程0cos 0=+⎰⎰xyt tdt dt e 所确定的隐函数)(x y y =的导数dxdy . 解：方程两端对x 求导,得0cos =+x dx dy e y ,所以y ex dx dy cos -=.6、求函数⎰-=xt dt te x f 02)(的极值.解：令0)(2=='-x xe x f ,得0=x ,由于当0<x 时,0)(<'x f ,当0>x 时,0)(>'x f , 所以函数有极小值0)0(=f .7、设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且0)(<'x f ,证明函数⎰-=xa dt t f ax x F )(1)( 在),(b a 内的二阶导数0)(<''x F .题目有误：例如,设x x f -=)(,01)(<-='x f ,有2)(1)(0x dt t x x F x -=-=⎰,21)(-='x F ,0)(=''x F .习题6-4241、计算下列定积分：(1)ππππππππππ333)3cos()3()3sin()3sin(+-=++=+⎰⎰x x d x dx x02121)33cos()3cos(=-=+++-=ππππ.(2)16921)49(81)49()49(41)49(122123123=+-=++=+---⎰⎰x x x d x dx .(3)31cos 31cos cos cos sin 20322202=-=-=⎰⎰πππϕϕϕϕϕϕd d .(4)2)2sin 412(22cos 1sin )cos 1(022πθθθθθθθθππππ=-=-==-⎰⎰⎰d d d .(5)232)2(31)2(22122232202222=--=---=-⎰⎰x x d x dx x x .(6)⎰⎰⎰======-==2022022sin cos 1222sin 41cos sin 1ππtdt tdt t dx x xtx tdt dx16)4sin 41(81)4cos 1(812020πππ=+=-=⎰t t dt t .24(7)61)315(81)5(81 451331324554112=--=--=====-⎰⎰-=-=-t t dt t xxdx x t t x . (8)32ln 2223ln 22)]1ln([212 12121412+=-=+-=+=====+⎰⎰==t t t tdt x dx x t t x .(9))1(2121211110210222-----=-==⎰⎰e e dt e dt te t t t.(10))12ln 1(2ln 12ln 1)ln 1(ln 1212121-+=+=++=+⎰⎰x xx d x x dx.(11)4)2arctan(1)2()2(5412122122π=+=+++=++------⎰⎰x x x d x x dx .(12)32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x .(13)34)(cos 34cos cos 2cos cos 22320223=-=-=-⎰⎰-ππππx x d x dx x x . (14)⎰⎰⎰==+202cos 22cos 22cos 1πππxdx dx x dx x22sin 2220==πx .242、利用奇偶性计算下列定积分： (1)⎰⎰⎰=-=--210221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx x x dx x x324)6(32)21(arcsin 32)(arcsin 323332103ππ====x . (2)012sin 552432=++⎰-dx x x x x .3、证明下列各题：(1) ⎰⎰+=+xx x dx x dx 1121211,)0(>x ； 证明：⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=+-===+=x x x x x t x x dx t dt tdt t t dt t x dx 1121121122112211211)1(11)1(1)1(1.(2) ⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n nm ；证明：⎰⎰⎰⎰-=-=--===--=1100111)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m xt nm .(3) ⎰⎰=2010010cos 2cos ππxdx xdx .证明：因⎰⎰⎰=--===-=20100210210cos )(cos cos ππππππtdt dt t xdx xt ,所以⎰⎰⎰⎰=+=2010210201010cos 2cos cos cos πππππxdx xdx xdx xdx .24证明：⎰⎰⎰⎰==--===---=2010221022102010sin 2sin )2(cos cos ππππππππtdt tdt dt t xdx tx⎰⎰==20102010cos 2cos 2ππxdx tdt .证明：⎰⎰⎰======-2010221010cos 2cos cos πππππxdx x xd xdx 偶函数周期.习题6-51、计算下列定积分：(1)1)1(1011011=--=-=-==⎰⎰⎰e e e e dx e xe xde dx xe x x x x x .(2)eeeeex e xdx x x xdx xdx x 12211212142121ln 21ln 21ln -=-==⎰⎰⎰)1(4141421222+=+-=e e e .(3)πππππππ2sin 2cos cos cos sin 2020202020-=+-=+-=-=⎰⎰⎰x xdx x x x xd xdx x .(4)2ln 33|cos |ln 33tan tan tan cos 30303030302-=+=-==⎰⎰⎰πππππππx xdx x x x xd x xdx .24(5)42ln 842ln 82ln 2ln 2ln 4141414141-=-=-==⎰⎰⎰x xdx x x x d x dx x x.(6) ⎰⎰⎰+-==10221210210121arctan 21arctan 21arctan dx x x x x xdx xdx x 214)41(218)arctan (2181-=--=--=ππππx x .(7) ⎰⎰⎰-==12202202202sin 2sin sin cos xdx e x e x d e xdx e x xxx πππ⎰⎰-+=+=12202202cos 4cos 2cos 2xdx e x e e x d e e x xxππππ,∴)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x .(8)⎰⎰-=eeedx x x x dx x 111)cos(ln )sin(ln )sin(ln⎰⎰-+-=--=ee edxx e e dx x x x e 111)sin(ln 11cos 1sin )sin(ln )cos(ln 1sin∴)11cos 1sin (21)sin(ln 1+-=⎰e e dx x e.(9)⎰⎰+-+=+2121211)1ln()1ln(dxx x x x dx x)2ln 13ln 2(2ln 3ln 2)]1ln([2ln 3ln 221+----=+---=x x1427ln 12ln 23ln 3-=--=.(10)⎰⎰⎰-======πππ0cos 2sin 2sin 22t td tdt t dx x x t tx24πππππ2sin 22cos 2cos 2000=+=+-=⎰t tdt t t .(11)1)1(ln ln 111=--=-=⎰⎰e e dx x x xdx eee,12)11(1ln ln 111111-=--=-=⎰⎰e e e dx x x xdx ee e , ∴)11(2ln ln |ln |1111e xdx xdx dx x e ee e -=+-=⎰⎰⎰.2、利用递推公式计算： (1)⎰=π100100sin xdx x J ；解：由于⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,于是⎰⎰⎰===2 0100 0100100100sin sin2sinπππππxdx xdx xdx x J2!!100!!992!!100!!992πππ⋅=⋅⋅=.(2)⎰-=10299299)1(dx x I .解：2!!100!!99cos )1(20100sin 1299299ππ⋅=====-=⎰⎰=xdx dx x I tx .习题6-61、判别下列各广义积分的收敛性,如果收敛计算广义积分的值：(1)⎰+∞13x dx ；24解：由于13>=p ,01>=a ,故积分⎰⎰+∞+∞=a px dx x dx 13收敛,且 211113=-==-∞+∞+⎰⎰p a x dx x dx p a p . (2)⎰+∞13xdx ； 解：由于131<=p ,01>=a ,故积分⎰⎰+∞+∞=a p x dx x dx 13发散.(3)⎰+∞-04dx e x ；解：4141404=-=+∞∞+-⎰xxedx e,积分收敛.(4)⎰+∞-0sin xdx e x ；解：由于x xd e x e x d e x xd e x x x x ⎰⎰⎰------=-=cos cos cos sinx xd e x e x e x d e x e x x x x x ⎰⎰-------=--=sin sin cos sin cos ,有C x x e x xd e x x++-=--⎰)cos (sin 21sin ,于是21)cos (sin 21sin 0=+-=+∞-∞+-⎰x x e xdx e x x ,积分收敛.(5) ⎰+∞∞-++542x x dx；解：πππ=--=+=+++=++∞+∞-+∞∞-+∞∞-⎰⎰)2(2)2arctan(1)2()2(5422x x x d x x dx ,积分收敛.24(6) ⎰-121xxdx ；解：1)1(011)1(211102102212=--=--=---=-⎰⎰x xx d x xdx,积分收敛.(7) ⎰-203)1(x dx；解：由+∞=-=-=-=-+++→-→-→⎰⎰)2121(lim )1(21lim )1(lim )1(2010201030103εεεεεεx x dx x dx , 知⎰-103)1(x dx 发散,故积分⎰-203)1(x dx发散. (8) ⎰-211x xdx； 解：38)131(2)3(2)1(211131021121212=+=+=+====-=-⎰⎰⎰-=+=t t dt t x xdx x xdx x t t x ,积分收敛.2、当k 为何值时,广义积分⎰+∞2)(ln kx x dx收敛？当k 为何值时,这广义积分发散？当k 为何值时,这广义积分取得最小值？ 解：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=-=-===---∞+∞+⎰⎰.1 ],)2(ln )[(ln 11)(ln 11,1 ,2ln ln ln ln ln ln )(ln ln )(ln 1121222k b k x kk b x x x d x x dxk k b k b k k24(1)当1=k 时,+∞=-=+∞→+∞⎰)2ln ln ln (ln lim )(ln 2b x x dxb k ,积分发散；(2)当1<k 时,+∞=--=--+∞→+∞⎰])2(ln )[(ln 11lim )(ln 112k k b k b kx x dx ,积分发散；(3)当1>k 时,1)2(ln ])2(ln )[(ln 11lim )(ln 1112-=--=---+∞→∞+⎰k b k x x dx k kk b k ,积分收敛,作1)2)(ln 1()(--=k k k ϕ,令2ln ln )2)(ln 1()2(ln )(11---+='k k k k ϕ0)2ln ln 11(2ln ln )2(ln 1=+-=-k k得2ln ln 110-=k ,当0k k <时,0)(>'x ϕ, 当0k k >时,0)(<'x ϕ,可见当0k k =时,)(k ϕ取得最大值,于是当2ln ln 110-==k k 时,积分)(1)(ln 2k x x dx k ϕ=⎰+∞取得最小值.3、用Г－函数表示下列积分,并计算积分值[已知π=Γ)21(](1) !)1(01)1(0m m dx e x dx e x x m x m =+Γ==⎰⎰+∞--++∞-, (m 为自然数)；(2) 2)21(21)121()23(01230π=Γ=+Γ=Γ==⎰⎰+∞--+∞-dx e xdx e x x x；24(3) 1!221)3(2121022522=⋅=Γ=====⎰⎰+∞-+∞∞-==-ds e s dx ex s x s xdx ds x.习题6-71、求由下列曲线所围图形的面积： (1)x y =,x y =；解：由 ⎩⎨⎧==xy x y , 得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ,612132232)(1022310 =-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A .(2)x e y =,0=x ,e y =；解：1)()(1010 =-=-=⎰x x e ex dx e e A .(3)23x y -=,x y 2=；解：由 ⎩⎨⎧=-=232x y x y , 得⎩⎨⎧-=-=63y x 或⎩⎨⎧==21y x ,332935)33(]2)3[(132310 2=+=--=--=-⎰x x x dx x x A .(4)22x y =,822=+x y (两部分都要计算)；解：由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=82222x y x y , 得⎩⎨⎧=-= 22y x 或⎩⎨⎧==22y x ,24342)68222arcsin 4()28(223222221+=--+=--=--⎰πx x x x dx x x A , 346)342(82-=+-=πππA .(6)xy 1=与x y =,2=x ； 解：2ln 23212ln 2)ln 2()1(21221-=--=-=-=⎰x x dx x x A .(7)x e y =,x e y -=,1=x ；解：2)()(11010-+=+=-=---⎰e e e e dx e e A x x x x .(8)x y ln =,0=x ,a y ln =,b y ln =(0>>a b ). 解：a b e dy e A b ayba y -===⎰ln ln ln ln .2、求由下列各题中的曲线所围图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：(1)3x y =,0=y ,2=x 绕x 轴、y 轴； 解：712872726202ππππ====⎰⎰x dx x dx y V x , 564)534()4()2(835832822πππππππ=-=-=-⋅=⎰⎰y y dy y dy x V y .(2)2x y =,2y x =绕y 轴；2410352)52()()(1521412221πππππππππ=-=-=-=-=⎰⎰y y dy y y dy x x V y .(3)16)5(22=-+y x 绕x 轴；解：21165x y -+=,22165x y --=,44≤≤-x ,24424422211601620)(ππππ=-=-=⎰⎰--dx x dx y y V x .(4)222a y x =+绕b x =(0>>a b ).解：221y a x --=,222y a x -= ,a y a ≤≤-,dy y a b dy x b dy x b dV y 2222214)()(-=---=πππ, 222224ππb a dy y a b V aa =-=⎰-.3、用平面截面积已知的立体体积公式计算下列各题中立体的体积：(1)以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为H 的正劈锥体．解:y H x A 221)(⋅=22x R H -=,R x R ≤≤-⎰⎰---==R RR R dx x R H dx x A V 22 )(2)( H R 22π=.(2)半径为R 的球体中高为H )(R H <的球缺．24解:)()(22y R y A -=π,R y H R ≤≤-,])([3)()(332 22 H R R H R dy y R dx x A V RH R R H R ---=-==⎰⎰--πππ)3(3232HR H H RH -=-=πππ.(3)底面为椭圆12222≤+b y a x 的椭圆柱体被通过x 轴且与底面夹角α(20πα<<)的平面所截的劈形立体．解:αtan 1121)(2222a x b a x b x A -⋅-= ),1(tan 2222a x b -⋅=α )(a x a ≤≤-, ∴ααtan 32)1(tan 2)(2 222 ab dx a x b dx x A V a a a a =-==⎰⎰--.习题6-81、已知边际成本为xx C 257)(+=',固定成本为1000,求总成本函数.解：因x x t t dt tdt t C C x C x x x 507)507()257()()0()(00 0 +=+=+='=-⎰⎰, 所以x x x x C x C 5071000507)0()(++=++=.2、已知边际收益bx a x R -=')(,求收益函数.24解：20 0 2)()()0()()(x bax dt bt a dt t R R x R x R x x-=-='=-=⎰⎰.3、已知边际成本为x x C 2100)(-=',求当产量由20=x 增加到30=x 时,应追加的成本数. 解：应追加的成本数为500)100()2100()()20()30(3020230203020=-=-='=-⎰⎰x x dx x dx x C C C .4、已知边际成本为x x C 430)(+=',边际收益为x x R 260)(-=',求最大利润(设固定成本为0). 解：2020230)230()430()()0()()(x x t t dt t dt t C C x C x C xx x +=+=+='=-=⎰⎰,202060)60()260()()0()()(x x t t dt t dt t R R x R x R xx x-=-=-='=-=⎰⎰,于是x x x C x R x L 303)()()(2+-=-=,令0306)(=+-='x x L ,得5=x ,而06)5(<-=''L , 所以最大利润为7553053)5(2=⨯+⨯-=L .5、某地区居民购买冰箱的消费支出)(x W 的变化率是居民总收入x的函数,xx W 2001)(=',当居民收入由4亿元增加至9亿元时,购买冰箱的消费支出增加多少？ 解：消费支出增加数为01.01001100200)()4()9(949494===='=-⎰⎰xx dx dx x W W W (亿元).246、某公司按利率%10(连续复利)贷款100万元购买某设备,该设备使用10年后报废,公司每年可收入b 万元. (1) b 为何值时,公司不会亏本？(2) 当20=b 万元时,求内部利润(应满足的方程)； (3) 当20=b 万元时,求收益的资本价值. 解：已知利率1.0=r ,10=T 年,b t P =)(,(1)公司保本的条件是：10年总收入的现值＝100万元,即)1(10)(1001101.00----===⎰⎰e b dt be dt e t P t Trt,82.151101≈-=-e b , 所以,当82.15≈b 万元时,公司不会亏本； (2)设内部利润为μ,那么)1(2020)(100101000μμμμ----===⎰⎰e dt e dt e t P t T t,μμ1015--=e ,01510=-+-μμe ,%94.151594.0=≈μ, 所以,当20=b 万元时,内部利润为%94.15；plot(5*x+exp(-10*x)-1,x=0.15936..0.15937);(3) 收益的资本价值＝收益流的现值－投入资金的现值,即100)1(20010020100)(1101.00--=-=----⎰⎰e dt e dt e t P t Trt42.262001001≈-=-e (万元).。