目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1 定积分概述 (2)1.1定积分的定义 (2)1.2定积分的性质 (2)1.3定理及方法 (3)2定积分的应用 (4)2.1 定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 (4)2.2定积分在物理中的应用 (8)3总结 (11)致谢 (11)参考文献 (11)定积分在生活中的应用数学与应用数学专业学生郑剑锋指导教师徐玉梅论文摘要：本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。

数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。

关键词：微元法定积分数列极限The Definite Integral in Our Life of ApplicationStudent majoring in mathematics and applied mathematics Jianfeng ZhengTutor Yumei XuAbstract：This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key words: Micro element method definite integral sequence limit引言本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

一、定积分的概述1、定积分的定义设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=， 把区间[],a b 分成n 个小区间：有[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。

在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,,i n =），并作出和()1ni i i S f x ξ==∆∑。

记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆，如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰=I =()01lim ni iP i f x ξ→=∆∑,其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。

2．定积分的性质.设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且性质1 ()bakf x dx ⎰=()bak f x dx ⎰;性质2 ()()b a f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰ ()()ba f x g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰. 性质3 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()c af x dx ⎰=()b af x dx ⎰+()cbf x dx ⎰。

性质 4 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1b adx ⎰=badx ⎰=b a -。

性质 5 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()baf x dx ⎰≥0()a b <。

性质 6 如果在],[b a 上,M x f m ≤≤)(,则⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(性质 7（积分中值定堙）如果)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存一点ξ使得⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ3．定理及方法1、定理定理1 微积分基本定理如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限函数()x φ=()xa f t dt ⎰在[],ab 上可导,并且它的导数是()'x φ=()xad f t dtdx⎰=()f x ()a x b ≤≤.定理 2 原函数存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数()x φ=()xaf t dt ⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数.定理3如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数, 则()ba f x dx ⎰=()()Fb F a -称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.2、方法定积分的换元法假设函数()f x 在区间[],a b 上连续,函数()x t φ=满足条件 (1)()a φα=,()b φβ=;(2) ()t φ在[],αβ(或[],βα)上具有连续导数,且其值域R φ⊂[],a b ,则有()baf x dx ⎰=()()'f t t dt βαφφ⎡⎤⎣⎦⎰, 上面的公式叫做定积分的换元公式.定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,有 ()()'ba u x v x dx ⎰= ()()'baux v x dx ⎡⎤⎰⎣⎦=()()()()'bau x v x u x v x dx -⎡⎤⎰⎣⎦=()()b au x v x ⎡⎤⎣⎦-()()'bav x u x dx ⎰简写为'ba uv dx ⎰=[]b auv -'b avu dx ⎰或baudv ⎰=[]b auv -vdu ⎰.二 、定积分的应用一、计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用1、利用定积分计算平面图形的面积（1）设连续函数)(x f 和)(x g 满足条件)(x g ≤)(x f ，∈x ],[b a ．求曲线=y )(x f ，=y )(x g 及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积S ．（如图1） 解法步骤：第一步：在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以)]()([x g x f -为高，以dx 为底的矩形面积近似，于是dx x g x f dS )]()([-=．第二步：在区间],[b a 上将dS 无限求和，得到⎰-=ba dx x g x f S )]()([.（2）上面所诉方法是以x 为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。

由连续曲线)(y x ϕ=、)(y x ψ=其中)()(y y ψϕ≥与直线c y =、d y =所围成的平图2面图形（图2）的面积为：⎰-=dcdy y y S )]()([ψϕ例1 求由曲线x y sin =，x y cos =及两直线0=x ，π=x 所围成的图形的面积A ． 解 （1）作出图形，如图所示．易知，在],0[π上，曲线x y sin =与x y cos =的交点为)22,4(π；（2）取x 为积分变量，积分区间为],0[π．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分； （3）区间]4,0[π上这一部分的面积1A 和区间],4[ππ上这一部分的面积2A 分别为⎰-=401)sin (cos πdx x x A ，⎰-=ππ42)cos (sin dx x x A ，所以，所求图形的面积为21A A A +==⎰-40)sin (cos πdx x x +⎰-ππ4)cos (sin dx x x[][]22sin cos cos sin 440=--++=πππx x x x ．例2 求椭圆22221x y a b+=的面积.解 椭圆关于x 轴,y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即1044aS S ydx ==⎰利用椭圆的参数方程cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩应用定积分的换元法,sin dx a tdt =-,且当0x =时,,2t x a π==时,0t =,于是222024sin (cos )4sin 1cos24214sin 22240S b t a t dtab tdttab dt t ab t abπππππ=-=-=⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割b x x x a T n =<<<= 10:划分成许多基本的小块，每一块的厚度为),,2,1(n i x i =∆，假设每一个基本的小块横切面积为),,2,1)((n i x A i =，)(x A 为[]b a ,上连续函数，则此小块的体积大约是i i x x A ∆)(，将所有的小块加起来，令0→T ，我们可以得到其体积：⎰∑=∆==→bani i i T dx x A x x A V )()(lim1。

例2 求由曲线4=xy , 直线 1=x ,4=x ,0=y 绕x 轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕x 轴旋转，所以取x 为积分变量，x 的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x ,x +x d ]的小窄条，绕x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为x d ，底面积为2πy 的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为V d =2πy x d =π2)4(xx d ,于是，体积V =π⎰412d )4(x x=16π⎰412d 1x x -=16π411x=12π.3．求曲线的弧长（1）设曲线)(x f y =在[]b a ,上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x 为积分变量，在[]b a ,上任取小区间[]x x x d ,+，切线上相应小区间的小段MT 的长度近似代替一段小弧MN 的长度，即ds l MN ≈.得弧长微元为：dx y y x MT s 222)(1)d ()d (d '+=+==,再对其积分，则曲线的弧长为：dx x f dx y ds s babab a⎰⎰⎰'+='+==22)]([1)(1（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ上[],t αβ∈一段的弧长.这时弧长微元为：()()2222dx dy ds dx dy dt dt dt ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()22ds t t dt ϕψ''=+则曲线的弧长为：dt t t ds s ⎰⎰'+'==βαβαψϕ22)]([)]([例3 (1)求曲线 2332x y =上从0到3一段弧的长度解 由公式 s =x y b ad 12⎰'+ （ b a <）知,弧长为s =x y d 1302⎰'+=x x ⎰+30d 1=323023)1(x +=31632-=314.(2)求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ 在π20≤≤t 上的一段弧的长度（0>a ）．解 取t 为积分变量，积分区间为]2,0[π．由摆线的参数方程，得)cos 1(t a x -='，t a y sin ='，t a t a y x 222222sin )cos 1(+-='+'|2sin|2)cos 1(2ta t a =-=． 于是，由公式（16-13），在π20≤≤t 上的一段弧的长度为22002|sin |2sin 22t ts a dt a dt ππ==⎰⎰204cos 82t a a π⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦二、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 ()ba s v t dt =⎰例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：10406010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰210402*********|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+=答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2、 定积分在变力作功的应用一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()baW F x dx =⎰例2 设40N 的力使一弹簧从原长10cm 拉长到15cm ．现要把弹簧由15cm 拉长到20cm ，需作多少功？解 以弹簧所在直线为x 轴，原点O 为弹簧不受力时一端的位置．根据胡克定律，当把弹簧拉长x m 时，所需的力为()F x kx =，（1）其中k 为弹性系数，是常数．根据题意，当把弹簧由原长10cm 拉长到15cm 时，拉伸了0.05m ，把0.05x =(0.05)40F =代入式（1），得 400.05k =，800=k ，所以()800F x x =．因此当把弹簧由15cm 拉长到20cm ，即x 从05.0=x 变到1.0=x 时，所需作的功为0.10.120.050.058004003W xdx x ⎡⎤===⎣⎦⎰．3、定积分在在电学中的应用例3、有一均匀带电圆盘，其半径为R ，电荷面密度为σ（如下图），求圆盘轴线 上与盘心O 相距为x 的任一给定点P 处的场强？分析：因为圆盘带电均匀分布，所以把圆盘分成许多同心的细圆环。