(t2 － 4t ＋ 3)dt ＝
4 ＝3(m)．
4 即 t＝4 s 时该点距离出发点3 m. 4 (2)由(1)知，t＝4 s 时运动的路程为3 m.
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因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积 分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上，哪个
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题型一 求变速直线运动的路程、位移 【例1】 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速 度的正方向与x轴正方向一致)．求
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值． [思路探索]
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解
(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向
运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程
当t＝6时，点P的位移为
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(2)依题意 (8t－2t2)dt＝0， 23 2 即 4t － t ＝0， 3
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误区警示 忽视位移有正、负而出错 【示例】一点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s) 运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． [ 错 解 ] (1)t ＝ 4 s 时 该 点 的 位 移 为
1 4 t3－2t2＋3t 3 0
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2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝
v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝
v(t)dt.
(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿
着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs； 而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上 的定积分，即W＝ F(x)dx.
力，则 F(x)＝kx. 依题意，使弹簧伸长 5 cm，需力 100 N，即 100＝5k，所以 k ＝20，于是 F(x)＝20x. 所以弹簧伸长到 40 cm 所做的功即计算由 x＝0 到 x＝15 所做 的功：W＝
15 20xdx＝10x2 0
＝2 250(N· cm)．
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【变式1】 变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为
x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置． 解 当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)<0. 所以前2秒钟内所走的路程
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2 秒末所在的位置
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[规范解答] 由物理学知识易得， 压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k， 即 pV＝k. k k ∵V＝xS(x 指活塞与底的距离)，∴p＝V＝xS. k k ∴作用在活塞上的力 F＝p· S＝ · . S＝ xS x ∴所做的功 W＝
b k b dx＝k· xa ＝kln . ln x a
(4 分)
(8 分) (12 分)
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【题后反思】 解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．
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【变式 2】 设有一长为 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹 簧伸长到 30 cm，求使弹簧伸长到 40 cm 所做的功． 解 设以 x 表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的
解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况， t＝6 是所求的值．
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(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时， 将物理问题转化为数学问题是关键．
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在
区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间， 然后分别计算，否则会出现计算失误．
1 它在前 2 秒内所走的路程为 2,2 秒末所在的位置为 x1＝3.
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题型二 求变力所作的功
【例2】 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温 条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从 点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功． 力F对物体所做的功为W＝F·S，求出变力F的表 达式是本题中求功的关键．
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名师点睛
1．在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移 的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程S和位移S′分别为： (1)若V(t)≥0，则S＝ V(t)dt，S′＝ V(t)dt.
(2)若V(t)≤0，则S＝－
V(t)dt，S′＝
V(t)dt.
(3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)<0， 则s＝ V(t)dt－ V(t)dt；S′＝ V(t)dt.
时间段的位移为负．
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[正解] (1)在 t＝4 s 时该点的位移为
1 4 (t2－4t＋3)dt＝3t3－2t2＋3t 0
4 ＝3(m)．
4 即在 t＝4 s 时该点距出发点3 m. (2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0， ∴在 t＝4 s 时的路程为
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说明：做变速直线运动的物体所经过的路程s在数值上其实就是时
间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积，而变力做功实际上也是
位移—力坐标系中对应曲边梯形的面积．在变力做功时，不限定 F(x)为非负数，这样求出来的定积分可能为负数．当定积分为负数 时，说明变力做负功，即克服变力做了功．
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想一想：利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 吗？ 提示 路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概
念，(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
求解； (2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用 一时段的路程是位移的相反数，即路程为－ . 求解，这
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根据速度函数v(t)确定v(t)的符号才能转化为用定积分 求路程．
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1.7.2 定积分在物理中的应用
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【课标要求】
1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用． 2．会求变速直线运动的路程、位移和变力作功问题． 【核心扫描】 利用定积分求变速直线运动的路程、位移和变力所作的功．
(重点)
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自学导引 定积分在物理中的应用 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速 变速直 线运动 度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积 分，即 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物 变力作功 体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)， 那么变力F(x)所作的功为