例 如图所示，以速度v 用绳跨一定滑轮拉 湖面上的船，已知 绳初长 l 0，岸高 h
v
l0 h l(t)
求 船的运动方程 解 取坐标系如图
O
x(t)
x
依题意有 l(t) l0 v t
坐标表示为
x(t) l( t)2 h2 (l0 v t)2 h2
说明:
质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正确 写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确起始 条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。
v (t)
dv
d2r
t0
t
dt dt 2
讨论：
O
v(t)
v
v(t t)
(1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。
(2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
在三维直角坐标系中
a
dv
dt
dv x dt
i
dv y dt
j
dv z dt
k
d
2
x
i
dt 2
d2 y dt 2
j
d
2
dv dt
2 j
当 t =2s 时
v2 2 i 4 j,
a2 2 j
例 设质点的运动方程为 r(t) x(t)i y(t) j,
其中 x(t) (1m s1)t 2m,
y(t)
(
1 4
m
s2
)t
2
2m.
求（1） t 3 s时的速度.（2） 作出质点的运动轨迹图.
解 （1）由题意可得速度分量分别为
小为 dr
（A） d t
d r （B） d t
（C） d r
dt
（D） (dx)2 (dy)2
dt
dt
(4) 加速度（反映速度变化快慢的物理量）
v(t)
v(t t)
1. 平均加速度 t v
a
v
v(t
t)
v(t
)
t
t
P1 r (t)
P2
r (t t)
2. 瞬时加速度
a
limv (t
t)
vx
dx dt
1m s1,
vy
dy dt
(1 m s2)t 2
t 3 s 时速度为 v (1m s1)i (1.5m s1) j
v x 速度 与 轴之间的夹角
arctan1.5 56.3
1
（2） 运动方程
x(t) (1m s1)t 2m
y(t
)
(
1 4
m
s2
)t
2
2m
t 由运动方程消去参数 可得轨迹方程为
时间
t
内质点的位移为
r
r2
r1
r xi yj zk
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
y P2(x2, y2, z2)
位移的模为
r x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
(3) 速度 ( 描述物体运动状态的物理量 )
1. 平均速度 t r
(3) 分清 r 与Δr 的区别
O O
P1 s
r
r (t)
r(t
P2
t)
y
r
r
在三维直角坐标系中
时刻t ，质点位于P1 ，位矢为
r1
时刻t + t ，质点位于Q ，位矢为r2
z
r1
P1(x1, y1,
r
z1)
建如图所示 坐标，则 r1 x1i y1 j z1k
O
x
r2
r2 x2i y2 j z2k
y (1 m-1)x2 x 3m 4
轨迹图
y/m
t 4s 6
t 4s
t 2s4 t 0 t 2s
2
x/m
-6 -4 -2 0 2 4 6
2. 第二类问题
已知加速度和初始条件，求
v
,r
例
已知
a
16 j
,t
=0
时
v (0)
6i ,
r (0)
8k
求 v 和运动方程。
解
dv
(2)位移 P1P2 Δr r (t Δt ) r (t )
位移矢量反映了物体运动中位置
z
( 距离与方位 ) 的变化。
反映物体在空间位置的变化, 与路 径无关，只决定于质点的始末位置.
讨论：
O x
(1) 位移是矢量（有大小，有方向）
位移不同于路程 Δr Δs P1P2
(2) 位移与坐标系原点的位置无关
z
k
dt 2
a axi ay j azk
其中
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2y dt 2
,
az
dv z dt
d2z dt 2
大小为
a
ax2
a
2 y
az2
❖ 运动学的二类问题 1. 第一类问题 已知运动学方程，求
r,
s,v ,
a
例
已知一质点运动方程
a
16 j
dv 16dt j
dt
代入初始条件 v (t)-v (0) 16t j
v (t)
t
dv 16dt j
v (0)
0
v(t)
6i
16t
j
dr
v(t)
dt
dr (6i 16t j)dt
r (t)
t
dr (6i 16t j )dt
r (0)
0
代入初始条件
r(0)
8k
r(t
)
6t
i
8t
2
j
8k
例 有一个球体在某液体中竖直下落,其初速度为 v0 (10m s1) j ,
它的加速度为 a (1.0s1)v j
求（1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
（2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
解 由加速度定义 a dv (1.0s1)v
dt
o
r
2t
i (2 t2) j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移
(2) t =2s 时v，a
解 (1)
r1 2i j
r2 4i 2 j
r r2 r1 (4 2)i (2 1) j 2i 3 j
(2)
v
dr dt
2 j 2t
j,
a
d 2r dt 2
v
Δr
r (t
t)
r (t)
Δt
t
2.
瞬时速度
v lim
r (t
t
)
r (t
)
dr
t0
t
dt
r(t) r
o
r(t t)
vA
B'
B
v lim r lim s ds
r
讨论：
t0 t t0 t dt
A
(1) 速度有矢量性、瞬时性和相对性。
(2) 注意速度与速率的区别
v
dr
,
v dv (1.0s1)
t
dt ,
v v0
0
v v0e(1.0s1)t
v
dy dt
v0 e ( 1.0s 1 )t
ydy
0
v0
e dt t (-1.0s-1)t
0
v0
y 10[1 e(1.0s1)t ]m
y
v v0e(1.0s1)t
v/m s-1 v0
y 10[1 e(1.0s1)t ]m
v
dr
ds
v
dr
dt dt dt
dt
在三维直角坐标系中
瞬时速度
v
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
v vxi vy j vzk
其中
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
ห้องสมุดไป่ตู้dz dt
速度的大小为
v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
例 一运动质点在某瞬时位于矢径 r( x的, y端)点处，其速度大