安徽省蚌埠铁中高三上学期期中考试数学试卷（理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}(5)4A x x x =-，{}|B x x a =≤，若A B B ⋃=，则a 的值可以是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为 （ ） A. [1,1]- B. (1,1)- C. (,1)-∞- D. (1,)+∞3.已知1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则17cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A.13B.3 C. 13- D. 3-4.若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是（ ） A. 20192019log log a b > B. log log c b a a > C. ()()cbc b a c b a ->- D. ()()cba c a a c a ->-5.在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A. 2[1,]3-B. 1[1,]3-C. [1,1]-D. 1[,1]37.如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接 ,AC MN 交于P 点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =411AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点N 在AD 上的位置为（ ）A. AD 中点B. AD 上靠近点D 的三等分点C. AD 上靠近点D 的四等分点D. AD 上靠近点D 的五等分点8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 5B.163C. 7D.1739.执行如图所示的程序框图，如果输出6T =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A. 32k <B. 33k <C. 64k <D. 65k <10.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且 函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为 （ ） A.74B. 32C. 2D.5411.已知x ，y 满足约束条件20,{53120,3,x y x y y --≤--≥≤当目标函数z ax by =+（0a >，0b >）在该约束条件下取得最小值1时，则123a b+的最小值为（ ）A. 4+B.C. 3+D. 3+12.设函数()33xaf x e x x x⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤有正实数解，则实数a 的最小值 为（ ） A. 3B. 2C. 2eD. e二．填空题（共4小题，每小题5分，合计20分）13.已知函数2cos y x =（02x π≤≤）的图象和直线2y =围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是__________．14.若函数()ln 2f x x ax =-的图象存在与直线20x y +=垂直的切线，则实数a 的取值范围是____．15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，AB =E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.16.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c，满足()22sin 40a a B B -+=，b =△ABC 的面积为__.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ．（2）设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．的ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知点(),a b 在直线()sin sin x A B -+sin sin y B c C =上.（1）求角C 的大小；（2）若ABC △为锐角三角形且满足11tan tan tan m C A B=+，求实数m 的最小值. 当且仅当a b =，实数m 的最小值为2.19．（本小题满分12分）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投 入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如 下：①年固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元； ③年生产x 百台的销售收入R （x ）={−0.5x 2+4x −0.5，0≤x ≤47.5，x ＞4（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）． （1）为使该产品的生产不亏本，年产量x 应控制在什么范围内？ （2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝2x +（k ﹣1）•2﹣x （x ∈R ）是偶函数． （1）求实数k 的值；（2）求不等式f （x ）＜52的解集；（3）若不等式f （2x ）+4＜mf （x ）在x ∈R 上有解，求实数m 的取值范围．已知函数()()()ln f x x x ax a R =-∈．（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()212f x >-．【参考答案】一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.D2.B3.A4.D5.A6.B7.B8.D9.C 10.C 11.C 12.D 二．填空题（共4小题，每小题5分，合计20分） 13.4π 14.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭15.[2,4]ππ 16. 2√3 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =， 所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．18. （本小题满分12分） 【答案】（1）3π（2）实数m 的最小值为2. 【解析】（1）由条件可知()sin sin sin sin a A B b B c C -+=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，又由余弦定理2221cos 22a b c C ab +-==，故角C 的大小为3π；（2）11tan tan tan m C A B ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ sin cos cos cos sin sin C A B C A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin cos sin cos sin cos sin sin C A B B A C A B +=⨯ 222sin 2sin sin C c A B ab ==()222a b ab ab+-= 21a b b a ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭()2212⨯-=，19．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意得，成本函数为C （x ）＝x +2，从而年利润函数为L （x ）＝R （x ）﹣C （x ）={−0.5x 2+3x −2.5，0≤x ≤45.5−x ，x ＞4．要使不亏本，只要L （x ）≥0，①当0≤x ≤4时，由L （x ）≥0得﹣0.5x 2+3x ﹣2.5≥0，解得1≤x ≤4， ②当x ＞4时，由L （x ）≥0得5.5﹣x ≥0，解得4＜x ≤5.5． 综上1≤x ≤5.5．答：若要该厂不亏本，产量x 应控制在100台到550台之间． （2）当0≤x ≤4时，L （x ）＝﹣0.5（x ﹣3）2+2， 故当x ＝3时，L （x ）max ＝2（万元）， 当x ＞4时，L （x ）＜1.5＜2．综上，当年产300台时，可使利润最大．20.【答案】（1）见解析（2. 【解析】（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A，)B，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,22OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z =，则30,2{3120,22n OM x n OP x y z ⋅=-=⋅=-++=令1z =，得()0,4,1n =-.过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，122CH CB ==. 所以cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,04CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH nθ⋅==⋅17=. 21．（本小题满分12分）【解析】解：（1）∵f （x ）是偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x），即2﹣x +（k ﹣1）•2x ＝2x +（k ﹣1）•2﹣x ，即（k ﹣2）（22x ﹣1）＝0恒成立， 则k ﹣2＝0，得k ＝2； （2）∵k ＝2，∴f （x ）＝2x +2﹣x ，不等式f （x ）＜52等价为2x +2﹣x ＜52， 即2（2x ）2﹣5（2x ）+2＜0， 得（2•2x ﹣1）（2x ﹣2）＜0，得12＜2x ＜2，得﹣1＜x ＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）； （3）不等式f （2x ）+4＜mf （x ）等价为22x +2﹣2x+4＜m （2x +2﹣x ））即f 2（x ）+2＜mf （x ），∵f （x ）＝2x +2﹣x ≥2，当且仅当x ＝0时，取等号， 则m ＞f （x ）+2f(x)，∵函数y ＝x +2x在[2，+∞）上是增函数，则f （x ）+2f(x)的最小值为3，即m ＞3，故实数m 的取值范围是（3，+∞）． 22. （本小题满分12分）【答案】（1） 0x y += （2）见解析 【解析】（1）由已知条件，()()ln f x x x x =-，当1x =时，()1f x =-，()ln 12f x x x +'=-，当1x =时，()1f x '=-，所以所求切线方程为0x y +=（2）由已知条件可得()ln 12f x x ax +'=-有两个相异实根1x ，2x ， 令()()'f x h x =，则()1'2h x a x=-， 1）若0a ≤，则()'0h x >，()h x 单调递增，()'f x 不可能有两根； 2）若0a >， 令()'0h x =得12x a =，可知()h x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，令1'02f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭解得102a <<， 由112e a <有120a f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'， 由2112a a >有2122ln 10f a a a ⎛⎫=-'+-< ⎪⎝⎭， 从而102a <<时函数()f x 有两个极值点， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表因为()1120f a =->'，所以121x x <<，()f x 在区间[]21,x 上单调递增， ()()2112f x f a ∴>=->-． 另解：由已知可得()ln 12f x x ax +'=-，则1ln 2x a x +=，令()1ln x g x x +=， 则()2ln 'x g x x-=，可知函数()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 若()'f x 有两个根，则可得121x x <<，当()21,x x ∈时，1ln 2,x a x+> ()ln 120f x x ax =+->'， 所以()f x 在区间[]21,x 上单调递增，所以()()2112f x f a >=->-．。