模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术：

自然频率 振型

模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容。
整机模态分析
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模态分析的作用： 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动 （例如扬声器）；
汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有 频率相同时，就可能会被震散。 拆除机器人工作在强振动环境下，其工作装置为液 压冲击器，设计时需确保其激振源频率避开整机的 一阶固有频率 。
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
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再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下： 平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
X
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（2）单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
第i结点的位移 第i结点的坐标
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第i个单元的应变 应力 内力
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（3）整体分析 首先把外载荷集中到 节点上： 把第i单元和第i+1单元 重量的一半，集中到 第i+1结点上

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齿轮有限元模型
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之 间通过节点连接，并承受一定载荷。 节点具有一定的自由度。
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自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
分析对象 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX

振动特性 - （结构振动方式和振动频率） 周期（振动）载荷的效应 随时间变化载荷的效应

屈曲分析 -用于计算屈曲载荷和确定屈曲模态。包括线 性（特征值）和非线性屈曲分析。
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静力分析
转向机构支架的强度分析（MSC/Nastran）
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动力分析（五种类型）

模态分析 - 计算线性结构的自振频率及振形.
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建立结点的力平衡方程：对于第i+1结点，由力的 平衡方程可得 (i=1,n-1)
令
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对于第n+1个结点，第n个单元的内力与第 n+1个结点上的外载荷平衡，
再加上约束条件 因此可以得到n+1个方程构成的方程组，可解 出n+1个结点的位移。
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有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素” 的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学 术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics许多年来拒绝刊登有关有限元 方法的文章，其理由是没有新的科学实质。 现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究 和工程分析中的地位，有关有限元方法的研究 已经成为数值计算的主流。涉及有限元方法的 杂志有几十种之多。

20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝 应力计算的基础上，独立于西方创造了有 限元方法并最早奠定其理论基础。--《数 学辞海》第四卷
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1.2 有限元分析的基本原理和思路
有限元法是适应使用电子计算机而发展起来的 一种数值计算方法。起源于20世纪50年代航空 工程中飞机结构的矩阵分析。 有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理 系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单 而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的 未知量去逼近无限未知量的真实系统。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。

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数学家方面
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括 有限差分方法，变分原理和加权余量法。 1954-1955 年，德国斯图加特大学的 Argyris 在航 空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析 论文，为有限元研究奠定了重要的基础。 1963 年 前 后 ， 经 过 J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺） 等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原 理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。

有助于在显式动力分析中估算求解控制参数 （如时间步长）。
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1阶振型图 1阶模态振型为整个工作臂作为一个整体在可旋转机座上做横向摆动 拆除机器人的激振源(液压冲击器)的频率为7.5~12.5Hz，而其1阶模态频 率为12.305Hz，正好处于这一区间，这说明在拆除机器人工作在最高工 作频率的时候，极易诱发其1阶模态，因此需要对其结构进行相应的改进， 以避开其1阶固有频率，提高整机的动力学特性。
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进度安排
第1章 有限元方法概述 第2章 数理力学基础 第3章 弹性问题有限元方法 第4章 等参单元和高斯积分 第5章 结构单元 第6章 有限元建模专题 第7章 非线性专题 第8章 热传导与热应力分析专题

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课程评估
出勤率 课堂作业 期末大作业

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1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩 阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即 把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在 单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节 点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到 了正确的解答。 1960 年， Clough 在他的名为 “The finite element in plane stress analysis” 的论文中首次提出了有 限元（Finite Element）这一术语。
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1.1 有限元方法形成的背景
微分方程边值问题 有限元法形成的背景

工程师的角度 数学家的角度


我国力学工作者的贡献
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微分方程边值问题
工程中的许多问题都可以 用微分方程和相应的边界 条件来描述。例如弹性力 学问题，热传导问题，电 磁场问题等。例如等截面 悬臂梁在自由端受集中力 P作用时，其变形挠度y满 足微分方程
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结构分析-分类


静力分析 -用于静态载荷. 可以考虑结构的线性及非 线性行为，例如: 大变形、大应变、应力刚化、接触、 塑性、超弹及蠕变等. 动力分析 -动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和 阻尼起着重要作用时结构或构件动力学特性的技术。 “动力学特性” 可能指的是下面的一种或几种类型:
有限元方法
Finite Element Method
金朝海 jch666@
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课程目标
1)
2)
3)
系统学习有限单元法的基本思想、概念 和原理—包括变分法、等参单元、高斯 积分等。 能从较高层次(数力原理)上理解有限元 方法的实质，掌握有限元分析的工具， 并具备初步处理工程问题的能力。 能够对有限元分析结果的有效性和准确 性进行评估，同时要认识到有限元方法 的局限性。
结构 DOFs
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基本思路：分割-组合
将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分 析） 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近 似的系统（整体分析）

这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。
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圆面积
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1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启 ）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都 可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1967 年， Zienkiewicz 和 Cheung 出版了第一本有 关有限元分析的专著。


1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用 加权余量法特别是 Galerkin 法（伽辽金 法），导出标准的有限元过程来求解非结 构问题。
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。 试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
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材料力学解答
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有限元法解答
（1）离散化 将直杆划分成 n 个有限段， 有限段之间通过一个铰接点 连接。两段之间的连接点称 为节点，每个有限段称为单 元。第i个单元的长度为Li， 包含第i，i+1个节点。
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工程师方面

思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法和工 程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构 的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的 矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架结构等 标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连 续系统在结构上存在相似性，可以把杆系结构 分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。
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主要工学硕士数学课程

工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析
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数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提 高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。 数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。 综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
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1970 年以后，有限元方法开始应用于处理非线 性和大变形问题， Oden 于 1972 年出版了第一本 关于处理非线性连续体的专著。