科学计一，但三者之间相辅相成。
偏微分方程的有限元方法
一 边值问题的变分原理
1 引论 （1）等周问题 在长度一定的所有平面封闭曲线中，求 所围面积为最大的曲线。
dx dy 模型：在条件 ds l 下 s1 ds ds 1 s2 dy dx 求使得泛函 s( x, y ) s x y ds 2 1 ds ds 达到最大的函数 x( s), y ( s) 。
s2 2 2
定义：当求泛函在一个函数集合K中的极小 （或极大）问题，则该问题称为变分问题。 变分问题与微分方程的定解问题有一定的 联系。 （2）初等变分原理 ① 一元二次函数的变分原理 设 J ( x) Lx 2 2 fx ( L 0, L, f为实常数） 考察J(x)的极值情况。 变分原理： 求 x0 R，使 J ( x0 ) min J ( x)
xR
与求解方程 Lx = f 等价。
② 多元二次函数的变分原理
设
n 1 n n J ( x ) J ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j bi xi 2 i 1 j 1 i 1
求J(x)取极小值的驻点， 其中
a11 a12 a1n a a a 22 2n 对称正定 A 21 an1 an 2 ann T 设 x ( x1 , x2 ,, x n ) b (b1 , b2 ,,b n )T 1 则J(x)可表示为： J ( x ) ( Ax , x ) (b , x ) 2
（2）两点边值问题的变分原理 考察二阶常微分方程边值问题： d du Lu p qu f x (a, b) dx dx u (a) 0 u(b) 0 ① 构造泛函 1 J (u ) ( Lu, u ) ( f , u ) 2 b b 1 b d du 2 p udx qu dx fudx a a 2 a dx dx 1 b ( pu2 qu 2 2 fu)dx 2 a b du dv 引入泛函算子 (u, v) [ p quv]dx a dx dx 1 则 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2
③ 变分原理（变分问题与边值问题的等价性） 设 f C 0 (I ) ， u* C 2 是边值问题
d du Lu p qu f dx dx u (a) 0, u(b) 0 x ( a, b)
的解，则 u* 使 J(u) 达到极小值； 1 反之，若 u C 2 H E 使 J(u) 达到极小值， 则 u* 是边值问题的解。 1 其中 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 u (a) 0是强制边界条件，u(b) 0 是自然边 界条件，区别这两类边界条件在用有限元方法求 解边值问题时很重要。
（3）虚功原理
d du Lu p qu f x (a, b) 对两点边值问题： dx dx u (a) 0, u(b) 0 1 设 v HE ，以v乘方程两端，沿[a,b]积分， 并利用 v(a) 0, v(b) 0 ，得变分方程 1 (u, v) ( f , v) 0 v H E b du dv 其中 (u, v) [ p quv]dx a dx dx 虚功原理 2 u C 设 * ，则 u*是边值问题解的充要条件是： 1 u* H E ，且满足变分方程： 1 v H 对任意 (u* , v) ( f , v) 0 E 在力学里， (u, v) ( f , v)表示虚功
② 变分问题
与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分 问题是
1 求 u H E ，使 J (u ) min1 J (u )
uH E
1 其中 H E [a, b] {u ( x) u ( x) H 1[a, b], u (a) 0} 1 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 1 b ( pu2 qu 2 2 fu)dx 2 a
由于实际问题的具体特征、复杂性以 及算法自身的适用范围决定了应用中必须 选择、设计适合于自己特定问题的算法， 因而掌握数值方法的思想至关重要。
要在各种可能的求解方法中找到一种 统一地适用于计算材料学领域（或其它领 域）的理想方法，一般是不现实的。 任何模拟方法，都必须在最佳计算速 度和数值精度之间寻找平衡点。
uC0
在数学上，要将某个微分方程的定解问题 转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定 解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题 的解与泛函极值问题的解等价。 有限元方法正是利用这种等价性（边值问 题与变分问题的等价性），先将微分方程定解 问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问 题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方 程）。
平衡原理 求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题： Tu( x) f ( x) 0 x l 其中T是弦的张力。 u (0) 0 u (l ) 0 极小位能原理： 弦的平衡位置 (记为 u u ( x))将在满足边 值条件 u(0)=0，u(l)=0 的一切可能位置中，使 位能取极小值。 设弦处于某一位置u=u(x)，可得到其总位能为 1 l J (u ) (Tu2 2uf )dx 2 0 弦的平衡位置 u u ( x)是下列变分问题的解 J (u ) min2 J (u )
变分原理：
设矩阵A对称正定，则下列两个命题等价： n (a) 求 x0 R ，使 J ( x0 ) minn J ( x ) xR 1 其中 J ( x ) ( Ax , x ) (b , x ) 2 (b) x0 是方程 Ax b 的解 上述两个例子表明： 求二次函数的极小值问题和求线性代数 方程（组）的解是等价的。