k1 k1k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0 0 u2 0 0k4uu4300 k4 u5 P
写成一般形式，可得：
[R ][K ]U [][F]
即： [反作]用 [总 力 体 矩 ]刚 位 [阵 度 移 ] [负 矩 矩荷 阵 阵 ]
引入边界条件，根据本题要求，节点1
有限元分析方法
第一章 概述
一、有限单元法的基本概念
一变横截面杆，一 端固定，另一端承受负 荷 P，试求杆沿长度方 向任一截面变形大小。 其中杆上边宽度为 w1 下边宽度为 w 2 ，厚度
为 t ，长度为 L，弹性
模量为 E。
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ，平均应力
来，重新对上述五个方程进行变换，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0
节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
节点5： k4u4k5u5P
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
可得杆沿长度方向任一位置的变形：
u (y ) E (w P 2 t w L 1 )[lw 1 n w ( 2L w 1y ) ln w 1 ]
令 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则：A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y
A1=150 mm2
A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2
A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2
A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
将 y 1 0 y 2 6 .5 2 y 3 1y 2 4 1 5 .5 8 y 5 7 250
i
ui1 ui l
i Ei
下面代入参数验证以上两种方法求解的结果是否一样 ？
令 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则：A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y
节点1： R 1k1(u2u1)0
节点2： k 1 (u 2 u 1 ) k 2 (u 3 u 2 ) 0
节点3： k 2 (u 3 u 2 ) k 3 (u 4 u 3 ) 0
节点4： k 3 (u 4 u 3 ) k 4 (u 5 u 4 ) 0
节点5： k4(u5u4)P0
将反作用力R1和外力P从内力中分离出
为 ，应变为 。
根据静力平衡条件： PA(y)0
根据虎克定律：E
任一横截面产生的应变： du dy
而任一横截面面积为：
A(y)(w 1w 2L w 1y)t
将上述方程变换后得：
du P dy EA(y)
沿杆的长度方向进行积分，得到精确解：
0 ud u0yEP (A y)d y0yE(w t1w P 2L w 1y)dy
总体刚度矩阵：
162 162
0
0
0
16216214.40 14.40
0
0
[K]106 0 14.40 14.4011.88 11.88 0
A1=150 mm2
A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2
A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2
A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
每个单元的等效刚度系数
keq(Ai12lAi)E
k1=(150+131.25)×72×1000000/(2×62.5)=162×106 N/M k2=(131.25+112.5)×72×1000000/(2×62.5)=140.4×106 N/M k3=(112.5+93.75)×72×1000000/(2×62.5)=118.8×106 N/M k4=(93.75+75)×72×1000000/(2×62.5)=97.2×106 N/M
将上述方程组写成矩阵形式，有：
k1 k1
0
0
0
k1 k1 k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 R1
0 u2
0
0k4uu43
0 0
k4 u5 P
将反作用力和外力分离出来，重组上述矩阵可得：
R1 k1
0
k1
0 0
0
0
0 0
分别带入变形公式可得精确解为：
u1
0
u
2
27
.5100
u u
3 4
10
6
59 96
.2680 .8290
m
u 5
142 .8000
② 采用数值方法近似求解
将变横截面杆沿 长度方向分成独立的 4 小段等截面直杆， 每一小段称为一个单 元，小段之间通过节 点连接起来，这样变 横截面杆就用 5个节 点和4 个单元组成的 模型来表示。
因此，本题的变横截面杆可以看作由四个线 性弹簧串联起来的模型来表示，每一个单元都可 以视为一个线性弹簧，其弹性行为符合以下方程：
f keq (ui1 ui )
Aavg E l
(ui1 ui )
( Ai1
Ai )E 2l
(ui1
ui )
下面考虑每一个节点的受力，根据静力平衡
条件，每一个节点上的受力总和为0，即：
假设：任一横截面为A，长为 l 的杆，承受外力F
的作用，则 杆的平均应力为： F
A
杆的平均应变为： l
l
根据虎克定律有： E
经过简化得： F AE l
l
上述方程与线性弹簧方程 Fkx极为相
似，说明：一个中心点集中受力且横截面相等的 杆可以等效为一个弹簧，其等价刚度为:
k eq
AE l