三湘名校教育联盟·2020年下学期高二期中考试试题
数 学 2020.11.10
一 单项选择题（每小题5分）
1 命题：“()13log ,2>+∈∀x Z x ”的否定为_____
A ()13log ,020≤+∈∃x Z x
B ()13log ,020>+∈∃x Z x
C ()13log ,2≤+∈∀x Z x
D ()13log ,2≥+∈∀x Z x
2 在△ABC 中,6
,1,3π
=
==B AC AB ，则_____=A
A 3
6
π
π
或
B
3
2
π
π
或
C
332ππ或 D 2
6π
π或
3 集合{}
11≤≤-=x x A ,若“B x ∈”是“A x ∈”的充分不必要条件,则B 可以是
A {}11≤≤-x x
B {}11<<-x x
C {}20<<x x
D {}
12<<-x x
4 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,,21=a 且431,,a a a 成等比数列,则n S 取得最大值时n 的值为________
A 4
B 5
C 4或5
D 5或6
5 过点P(2,0)作圆O:12
2
=+y x 的切线,切点分别为A,B.若A,B 恰好在双曲线C:1
22
22=-b
y a x 的两条渐近线上,则双曲线C 的离心率为
A.2
B.3
C. 2
D.5
6 设0228,
0,02>-++>>m m x
y y x y x 恒成立,则实数m 的取值范围为______ A.(][)+∞⋃-∞-,24, B.()2,4- C. (][)+∞⋃-∞-,42, D.()4,2-
7 南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列。

在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1, 7, 15, 27, 45, 71,107,则该数列的第8项为_______
A.161
B. 155
C.141
D. 139
8 已知抛物线x y 42
=的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于B A ,两点(点A 在第一象限),抛物线的准线与x 轴交于点K ,当
AF
AK 最大时,直线AK 的斜率______
A. 1
B. 2
C.3
D. 22
二、多项选择题（每小题5分，不全选得3分）
9 已知函数()wx wx x f cos sin +=的最小正周期为π,则下列判断正确的有_____
A 将函数x y 2sin 2=图像向左平移
4
π
个单位得到函数()x f 的图像 B 函数()x f 在区间⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡85,8ππ单调递减 C 函数()x f 的图像关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,8π对称
D 函数()x f 取得最大值时x 的取值集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
=Z k k x x ，8π
π 10 已知椭圆C 18
42
2=+y x 内一点M(1,2),直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,且M 为线段AB 的中点,则下列结论正确的是_____
A.椭圆的焦点坐标为(2,0)、(-2,0）
B. 椭圆C 的长轴长为22
C.直线l 的方程为03=-+y x
D. 3
3
4=
AB
11 如图所示,AB 是半圆O 的直径,VA 垂直于半圆O 所在的平面,VA=3,点C 是圆周上不同于A,B 的点,CA=3,CB=4, M,N 分别为VA, VC 的中点,则下列结论正确的有______ A MN//平面ABC B 平面VAC ⊥平面VBC C. 二面角V -BC -A 的大小为30° D. 三棱锥O -VAC 的体积为32
12 已知函数()2
2
2m mx x x f --=，则下列命题正确的有______
A 当0≠m 时，()0<x f 的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<-
m x m
x 2 B 当1=m 时，[)+∞∈∀,1,21x x 时，()()()[]02121>--x f x f x x
C ⎥⎦⎤ ⎝
⎛∞-∈∀m x x 41,
,21且21x x ≠时，()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+>+22
2121x x f x f x f D 当0<m 时，若210x x <<，则()()2112x f x x f x >
三、填空题（每小题5分） 13 已知α是第一象限角,且3
4
tan =
α，则________2sin =α 14 等腰直角△ABC 中,2,2
==
∠AB B π
,点D 是AC 的中点,E 为BC 中点,则____=⋅AE BD
15 已知正三棱柱111C B A ABC -的每个顶点都在球O 的球面上,若球O 的表面积π24,则该三棱锥的侧面积的最大值为_______ 16 已知数列{}n a 满足()⎩⎨
⎧∈≥+==*
+N
n n n n a n n ,2,3log 1,12,定义使k a a a a 321⋅⋅()*
∈N k 为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]2020,1内所有“幸福数”的和为_____
四、解答题
17 （本小题满分10分）
已知0>a ,命题p: a x a 2≤≤-;命题q ：41<<-x ,若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.
18 （本小题满分12分）
由于受疫情的影响,某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测,根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人,记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员,按年龄段分为5组:(0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100],得到如图所示频率分布直方图,其中年龄在(20,40]的有20人.
（1）估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数;
（2）用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数;
（3）若此次核酸检测呈阳性的人中,男女比例为3:2,从中任选两人,求至少选到一名男性的概率
19 （本小题满分12分）
已知c b a ,,分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,且()bc a c b 32
2
+=+
（1）求角A
（2）若()B B C A a 2sin 2sin sin ,4=-+=，求△ABC 的面积
20 （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 4=+n n S a ,设n n a b 2log = （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）判断数列{}n b 是否为等差数列,并说明理由.
（3）求数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧
⋅+-12121
n n b b 的前n 项和n T
21 （本小题满分12分）
已知椭圆E:()012222>>=+b a b y a x 的离心率为2
1
,椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为4
（1）求椭圆E 的标准方程;
（2）已知Q(4,0),斜率为k 的直线l (不过点Q)与椭圆E 交于A,B 两点,O 为坐标原点, 若OQB OQA ∠=∠,则直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由
22（本小题满分12分）
设函数()x f 的定义域为D,若存在0x ∈D,使得()00x x f =成立,则称0x 为()x f 的一个“不动点”,也称()x f 在定义域D 上存在不动点.已知函数()(
)
22
4log 1
2+⋅-=+x x
a x f
（1）若1=a ，求()x f 的不动点;
（2）若函数()x f 在区间[0,1]上存在不动点,求实数a 的取值范围;
（3）设函数()x
x g -=2,若[]0,1,21-∈∀x x ,都有()()221≤-x g x f 成立,求实数a 的取值范
围.
参考答案
1-A 2-D 3-B 4-C 5-C 6-D 7-B 8-A 9-BCD 10-CD 11-ABC 12-BC 13【答案】
25
24 14 【答案】-1 15 【答案】318 16 【答案】1349
17 【答案】[)∞+，
2 18【答案】 （1）50 （2）5 （3）9/10
19 【答案】（1）
3
π
（2）分类讨论338=S
20 【答案】（1）n
n a -=22 （2）11-，公差为首项为
（3）1
2--=n n
T n
21 【答案】（1）13
42
2=+y x ------4分 （2）()0,1 22【答案】（1）0和1 ----3分 （2）⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-
1,212---7分 （3）12
5
≤≤-a。