牛曼外问题
拉普拉斯方程的狄氏内问题
Q(x, y, z)
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
z
r M(x, y,z)
z
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
A xo
xy
P
y
求其球对称解 u u(r)（解只与r有关，与角度无关）
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
ux (0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 2a
)2
0
n 0,1, 2,....
ux (0, y) ux (a, y) 0 u(x,0) (x) u(x,b) (x)
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件/周期条件)
• 一维波动
• 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯
利用齐次边界条件，
确定特征值问题， 确定特征值和特征 函数
• 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用周期条件，确定
特征值问题，特征 值和特征函数
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
( n l
)2
0
n 1, 2,....
Xn (x)
sin
n l
x
n 1, 2....
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
(2n 1 )2 2l
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2l
可得到
(r2 u ) 0 r r
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
u
C1 r
C2
u 1 (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
求其圆对称解 u u(r) （解只与半径有关，与角度无关）可得到
求解得 u C1 ln r C2
u
v n
dS
(gradu gradv)dV
(4.2)
第一格林公式
格林公式
(u2v)dV
u
v n
dS
(
gradu
gradv)dV
(4.2)
• 将上式中的u，v交换位置，得到
(v2u)dV
v
u n
dS
(gradv
gradu)dV
(4.3)
（4.2）与（4.3）相减，得到
(u2v v2u)dV (u v v u )dS (4.4)
X (x) X (x) 0
X
'(0)
X
'(a)
0
n
( n a
)2
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
cos
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
Xn (x)
cos
n a
x
n 0,1, 2....
两组边界条件可对调
圆/扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系
区域
边界条件
特征值问题
冲量法
wtt a2uxx , 0 x l wx x0 wx xl 0
w t0 ( x), wt t0 ( x)
分离变量法
特解法
• 在某些情况下可通过求非齐次方程的特解 将非齐次方程转化为齐次方程
utt a2uxx Asint , 0 x l
ux x0 ux xl 0 , t 0
u t0 ( x), ut t0 ( x) , 0 x l
非齐次边界条件的处理
没有齐次边界就构不成特征值 问题，就无法使用分离变量法。
解决方法：顶杠法
令
选一函数
不惜一切代价凑
为齐次边界问题
在特殊情况下
方程和边界可以同时齐次化 令
Vtt a2Vxx a2W ( x) f ( x)
0 2 0 0
0 2 1 0
0 0 0
0 1 0
u 0 f ( )
u( ,) u(, 2 )
u 0 f0 ( ) u 1 f1( )
u( ,) u(, 2 )
u 0 f ( )
u 0 u 0 u 0 f0 ( ) u 1 f1( )
u 0 u 0
Q(x, y, z)
在 上连续，在 内具有
一阶连续偏导数
P x
Q y
R z
dV
P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) dS (4.1) 边界 外法向的方向余弦
格林公式
• 设 u(x, y, z)，v(x, y, z) 在 具有一阶连续
偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数
必须会
• 一、一（0，l），
• 一、二， • 二、一， • 二、二类边界条件的特征值和特征函数 • 上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问
题(矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式(注意：二 二类解里多一个u0，λ＝0） • 圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解 • 解题时可以直接使用，不过要写出“根据。。。。的 边界条件及分离变量法，可得：”
设
此方法在某些情况下失效，比如
•求解一维波动问题的解。
u
utt
t0
a2uxx 0, ut
t 0
A
0
ux
x0 ux
xl 0
已经学过的偏微分方程解法
• 行波法 • 分离变量法 • 特征函数法 • 积分变换法 • 冲量法 • 转换法 • 特解法
数理方程中的定解问题反映了物理现象中一种 特定的场和产生这种场的源之间的关系。
平面拉氏方程的基本解
u ln 1 (r 0) r
• 三维拉普拉斯方程的基本解
v1
1
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
• 二维拉普拉斯方程的基本解
v ln 1 ln
1
r
(x x0 )2 ( y y0 )2
4.2 格林公式
• 奥－高公式
P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
一维振，热传导方程对应的特征值问题，特征值， 特征函数系
方程 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系
一维振动 一维传导
u(0,t) 0 u(l,t) 0
u(0, t) 0 ux (l, t) 0
ux (0, t) 0 u(l,t) 0
ux (0, t) 0 ux (l,t) 0
n n
第二格林公式
格林公式
(u2v)dV
u
v n
dS
(gradu gradv)dV
空间域
– 第四，如果方程是非齐次的，要根据方程的特点选择适 当的方法（特征方程法、冲量法、特解法等）
非齐次方程求解
• 典型的非齐次方程定解问题
也可不分解成两部分，直接 用特征函数法
先分成两部分：齐次 方程非齐次初始条件， 非齐次方程齐次初始 条件，再分别求解。
非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特 征函数法、冲量法求解；
X (0)
X (a) 0
n
( n a
)2
0
n 1, 2,....
Xn (x)
sin
n a
x
n 1, 2....
0 xa 0 yb
u(0, y) ux (a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 )2 2a
P u v ,Q u v , R u v
x
y
z
格林公式
P u v ,Q u v , R u v
x
y
z
P x
Q y
R z
dV
P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) dS
(u2v)dV
(gradu
gradv)dV
u
v n
dS
(u2v)dV
u n
f
内问题
• 在边界上给定某些边界条件，在区域内 部求拉普拉斯方程的解
狄氏问题
牛曼问题
外问题
• 在区域外部求调和函数且满足边界条件 • 在求解外问题时，常常附加一下条件：
limu(x, y, z) 0 r x2 y2 z2
r
limu 0 有界
r
r x2 y2
狄氏外问题（以三维空间为例）
如果能够找到一个点源所产生的场，利 用叠加的方法就可以算出任意源的场
格林函数
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
• §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 • §4.2 格林公式 • §4.3 格林函数 • §4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏
问题的解
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
• 拉普拉斯方程：描述稳定和平衡物理现象的方程
2u
2u x2
2u y2
2u z 2
0
与t无关，无初始条件 边界条件：两种边值问题