dt t dx x
物
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
理
问
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
题
的 数
求解代数方程
改进初场
值
求
是否收敛 否
解
过
是
程
解的分析
2.2 内节点离散方程的建立方法 下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称
内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及 非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的
温度tm-1,n
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 L m,n
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n 2t
x2
2t x2
m,n
x4 12
4t x4
1 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算， 均是使用节点温度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用 上一次迭代计算出的值。
设有一三元方程组：
a11t1 a12t2 a13t3 b1 a21t1 a22t2 a23t3 b2 a31t1 a32t2 a33t3 b3
其中 ai, j（ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是bi
对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。
（如边界温度已知，可逐步递推求解）
泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n
来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n
tm1,n
tm,n
x
t x
m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
3t x3
m,n
x4 24
4t x4
L
其余节点类推。（举例）
三种基本差分格式：[以节点(m，n)为例]
（1）向前差分：
t x
m,n
tm1,n tm,n , t x y
m,n
tm,n1 tm,n y
（2）向后差分：
t x
m,n
tm,n tm1,n , t x y
m,n
tm,n tm,n1 y
t （3）中心差分： x
m,n
tm1/ 2,n tm1/ 2,n , t
m,n1/ 2
tm,n tm,n1 y
所以： 2t x2
t m,n x
m1/ 2,n
t x
x
m1/ 2,n
tm1,n 2tm,n tm1,n (x)2
2t y 2
m,n
t y
m,n1/ 2
t y
y
m,n1/ 2
tm,n1
2tm,n (y)2
tm,n1
最终得：
2t x 2
2t y 2
3x2&
2
2x2qw )
qw
y x
讨论关于边界热流密度的三种情况：
（1）绝热边界 即令上式 qw 即0 可。
（2） qw值不为零
流入元体， qw 取正，流出元体，
述公式
取qw 负使用上
（3）对流边界
此时qw h(t f ，tm,将n ) 此表达式代入上述方程，并将
此项中的 与等tm,号n 前的
2t y 2
0
得
tm1,n
2tm,n x2
tm1,n
tm,n1
2tm,n y2
tm,n1
0
若 △x=△y 则有
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
y x
2.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
1. 边界节点离散方程的建立：
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节 点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有
于是有
由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式 , 的向前差分:
类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：
如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得 一阶导数的中心差分的表达式：
合并t。m,n对于
的情形x有 y
（a）平直边界
2
hx
2
tm,n
2tm1,n
tm,n1
tm,n1
x2
g
m,n
2hx
tf
（b）外部角点
g
2
hx
1 tm,n
tm1,n
tm,n1
x2 m,n
2
2hx
tf
（c）内部角点
g
2
hx
3
tm,n
2
tm1,n tm,n1
tm1,n
tm,n1
这一条件数学上称主对角线占优（对角占 优）；
a12 a13 1，a21 a23 1，a31 a32 1
a11
a22
a33
3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每一 个方程都选用导出该方程中心节点的温度作 为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定 收敛。
当计算区域中出现曲线边界或倾斜的边界时，常常用阶 梯形的折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界 节点的离散方程。例如，如要用数值方法确定如图4-6a所示 二维区域的形状因子，显然，根据对称性我们只要考虑四分 之一的计算区域即可。图4-6a中的内圆边界可以来用图4-6b 所示的阶梯形的折线边界来近似。只要网格取得足够密，这 种近似处理方法仍能获得相当准确的结果。处理不规则边界 的更好的方法要用到坐标变换，这里不做介绍。
tm1,n 2tm,n tm1,n (x)2
tm,n1
2tm,n (y)2
tm,n1
如果取正方形网格，即取 x y ，则上式为：
tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0
上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达； 在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。
3x2 m,n
2
2hx
t
f
2. 代数方程的求解方法
1） 直接解法：通过有限次运算获得精确 解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。
2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设 定初场），在迭代计算中不断予以改进，直 到计算前的假定值与计算结果相差小于允许 值为止的方法，称迭代计算收敛。
迭代法目前应用较多的是：
L
将上式改写成 x2的m,n表达式，有
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
图4-6 不规则区域的处理
2.4 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要差别在于控制方程中多了 一个非稳态项，而其中扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。 因此，本节讨论重点将放在非稳态项的离散以及扩散项离散时 所取时间层的不同对计算带来的影响上。
1.泰勒展开法
首先以一维非稳态导热为例讨论时间—空间区域的离散 化。如图4-8所示，x为空间坐标，我们将计算区域划分为(N-1) 等份，得到N个空间节点；τ为时间坐标，我们将时间坐标上 的计算区域划分为(I-1)等份，得到I个时间节点。从一个时间 层到下一个时间层的间隔Δτ称为时间步长。空间网格线与时 间网格线的交点，如(n，i)，代表了时间—空间区域中的一个 节点的位置，相应的温度记为tn(i)。
个以 x、为y边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热
流密度为 ，则qw据能量守恒定律得其热平衡式为：
x y
tm1,n tm,n y tm,n1 tm,n x
x 2
y 2
xyΦ&m,n 4
x
2
y
qw
0
tm,n
1 2 tm1,n
tm,n1
x2Φ&m,n
2
2xqw
qw
y x
(3) 内部角点
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件 下的积分求解，从而获得分析解。近100年来,对大量几何 形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解,但对于工程 技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题,由 于数学上的困难目前还无法得出其分析解.随着计算机技术 的迅速发展，并得到日益广泛的应用.对物理问题进行离散 求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以 下几种：
x
y
m,n
t t m,n1/ 2 m,n1/ 2 y
对无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：
2t x 2
2t y 2
0
用中心差分格式
因为：t x
m1/ 2,n
tm1,n tm,n x
, t x
m1/ 2,n
tm,n tm1,n x
t y
m,n1/ 2
tm,n1 tm,n y
,
t y
（1）有限差分法
（2）有限元方法
（3）边界元方法
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括
为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值。该方法称为数值解法。