这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理 量的数值解。
2.1 导热问题数值解法的基本思想——离散化
理论解 在规定的边界条件下积分，有很大局限性；
数值解 借助计算机，前景广阔。
1.有限差分法原理（连续的问题
离散的问题）
以有限差分
无限微分
无限划分
实质
达到精度
以差分代数方程
微分方程 计算机帮助
（当离散点足够多时可以满足要求）
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的
温度tm-1,n
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 L m,n
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n 2t
x2
2t x2
m,n
x4 12
4t x4
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件 下的积分求解，从而获得分析解。近100年来,对大量几何 形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解,但对于工程 技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题,由 于数学上的困难目前还无法得出其分析解.随着计算机技术 的迅速发展，并得到日益广泛的应用.对物理问题进行离散 求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以 下几种：
tm1,n 2tm,n tm1,n (x)2
tm,n1
2tm,n (y)2
tm,n1
如果取正方形网格，即取 x y ，则上式为：
tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0
上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达； 在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。
个以 x、为y边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热
流密度为 ，则qw据能量守恒定律得其热平衡式为：
x y
tm1,n tm,n y tm,n1 tm,n x
x 2
y 2
xyΦ&m,n 4
x
2
y
qw
0
tm,n
1 2 tm1,n
tm,n1
x2Φ&m,n
2
2xqw
qw
y x
(3) 内部角点
2t y 2
0
得
tm1,n
2tm,n x2
tm1,n
tm,n1
2tm,n y2
tm,n1
0
若 △x=△y 则有
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
y x
2.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
1. 边界节点离散方程的建立：
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
（1）有限差分法
（2）有限元方法
（3）边界元方法
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括
为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值。该方法称为数值解法。
为讨论方便，把如图中的节点(m，n)及其邻点取出并放大， 如图所示。
图4-3 内节点离散方程的建立
基本概念：控制单元、网格划分、节点、
边界、步长等
(m,n) N
二维矩
形域内
稳态、
n
常物性
的导热
y
问题
y
x x
M m
（b）
下面以一个二维导热问题为例进行分析(有限差分法)：
把一个二维物体在X及Y方向上分别以 X及 Y 距离分割成矩 形网格。则其中节点（m，n)的坐标为：X=m X , Y=n Y ,
dt t dx x
物
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
理
问
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
题
的 数
求解代数方程
改进初场
值
求
是否收敛 否
解
过
是
程
解的分析
2.2 内节点离散方程的建立方法 下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称
内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及 非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。
傅里叶定律
tm1,n tm,n y tm,n1 tm,n x
x
y 2
x 2
tm,n1 tm,n y
Φ&m,n
x 2
y
yqw
0
x y
tm,n
1 4 2tm1,n
tm,n1
tm,n1
x2Φ&m,n
2xqw
(2) 外部角点
如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表 1/4
L
将上式改写成 x2的m,n表达式，有
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。
（如边界温度已知，可逐步递推求解）
泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n
来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n
tm1,n
tm,n
x
t x
m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
3t x3
m,n
x4 24
4t x4
L
m,n1/ 2
tm,n tm,n1 y
所以： 2t x2
t m,n x
m1/ 2,n
t x
x
m1/ 2,n
tm1,n 2tm,n tm1,n (x)2
2t y 2
m,n
t y
m,n1/ 2
t y
y
m,n1/ 2
tm,n1
2tm,n (yBiblioteka 2tm,n1最终得：
2t x 2
2t y 2
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条件 下有
其余节点类推。（举例）
三种基本差分格式：[以节点(m，n)为例]
（1）向前差分：
t x
m,n
tm1,n tm,n , t x y
m,n
tm,n1 tm,n y
（2）向后差分：
t x
m,n
tm,n tm1,n , t x y
m,n
tm,n tm,n1 y
t （3）中心差分： x
m,n
tm1/ 2,n tm1/ 2,n , t
x
y
m,n
t t m,n1/ 2 m,n1/ 2 y
对无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：
2t x 2
2t y 2
0
用中心差分格式
因为：t x
m1/ 2,n
tm1,n tm,n x
, t x
m1/ 2,n
tm,n tm1,n x
t y
m,n1/ 2
tm,n1 tm,n y
,
t y