抛物型方程有限差分法1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程 (1.1))(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。

)(x f 是给定的连续函数。

（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ϕ=0,,∞<<∞-x第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ϕ=0,,l x l <<-及边值条件()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取Nlh =为空间步长，MT =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=；τk y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。

其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k j u ux t t t∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）： ()()()ττO t u t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-+,,1 ()()()2112,,ττO t u t x u t x u k jk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+()()()h O x u h t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-+,,1()()()h O x u ht x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--,,1 ()()()2112,,h O x u ht x u t x u kjk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+()()()()222211,,2,h O x u ht x u t x u t x u kjk j k j k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+可得到以下几种最简差分格式（一） 向前差分格式 ()14.1 =-+τk jk j u u 1j kj k j k j f h u u u a++--+2112()()j j x f f =()24.1()j j j x u ϕϕ==0，k u 0=kN u =0其中1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。

取2ha r τ=为网比，则进一步有()14.1'1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +kj ru 1-+j f τ此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到1j u =01+j ru +()r 21-0j u +01-j ru +j f τ于是，利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，可算出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j Λ。

再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=kN u =0算出2ju ，1,,1,0-=N j Λ。

如此下去，即可逐层算出所有k ju （1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ）。

由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。

并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。

若记()TkN k k k u u u 121,,,-=Λu ，()()()()T N xx x 121,,,-=ϕϕϕϕΛ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττΛf则显格式()14.1'可写成向量形式⎩⎨⎧=-=+=+ϕ11,,1,0,u f Au u M k k k Λ 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r r r r r r rr r21002100210021ΛO MO O O M O ΛA 若记22xua t u Lu ∂∂-∂∂=()--=+τk jk j kjh u u u L 112112h u u u akj k j k j -++-那末截断误差（1.5）()=u R kj()()[]k jk j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛--)~,~(2112122=()2h O +τ 其中(,)j k x t %%是矩形11+-<<j j x x x ，1+<<j k t t t 中某一点。

事实上，()=u R kj kj x u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂222τ+()2τO kjx u h a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-442ˆ12 =k j x u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂222τ+()2τO ()22222ˆ112τO t u a h a kj +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅⋅⋅- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-211212ττa h ()222~τO t u kj+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21121r τ()222~τO t u kj+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=()2h O +τ。

这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂222244x u xa x u a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂=t u a x a 122⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=t u x 22tx u ∂∂∂=2322t u ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=t u t 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=22x u a t t x u∂∂∂=23故22t u ∂∂44244x u a x u a a ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=，从而=∂∂44x u 221t u a ∂∂⋅（二） 向后差分格式 ()16.1 =-+τk jk j u u 1j k j k j k j f hu u u a++-+-+++2111112()()j j x f f =()26.1()j j j x u ϕϕ==0，k u 0=kN u =0其中 1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。

取2h a r τ=为网比，则进一步有()16.1'r -k j u 1++()r 21+1+k j u r -11+-k j u =kj u +j f τ按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j Λ，即求解方程组：r -11+j u +()r 21+1j u r -11-j u =0j u +j f τ1,,1,0-=N j Λ，k u 0=kN u =0。

求出1j u ，在由()14.1'取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j Λ。

如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k Λ。

如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。

并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。

直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。

但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。

1.2.3 Grank-Nicholson 法将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Crank-Nicholson 格式： ()18.1=-+τk jk j u u 1j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+211111211222()()j jx f f=()28.1()j j j x u ϕϕ==0，k u 0=kN u =0进一步， ()18.1'2r -11++k j u +()r +11+k j u 2r -11+-k j u =2r k j u 1++()r -1kju 2r +k j u 1-+j f τ 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j Λ，即求解方程组：2r -11+j u +()r +11j u 2r -11-j u =2r 01+j u +()r -10ju 2r +01-j u +j f τ 1,,1,0-=N j Λ，k u 0=k N u =0。

求出1j u ，在由()18.1',取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j Λ。

如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k Λ。

若记22xua t u Lu ∂∂-∂∂=()--=+τk jk j k j h u u u L 13j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+211111211222 在1(,)(,()/2)j k k x t x t t +=+处作Taylor 展开，可以算出截断误差为 （1.7） ()=u R k j()()[]k j k j h Lu t x u L -,3=()22h O +τ。

+（四）Richardson 格式（1.10） =--+τ211k jk j u u 2112hu u u akj k j k j -++-+j f进一步()110.1'1+k j u =r 2（k j u 1+k j u 2-+k j u 1-）+1+k j u +2j f τ这是三层显式差分格式。

显然截断误差的阶为()22h O +τ。

为使计算能够逐层进行，除初值0j u 外，还要用到1j u 。

它可以用其他双层格式提供。

Richardson 格式的矩阵形式为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=-+另算10111,,1,u u f u u C u ϕτM k k k k Λ 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⋅-=21001210012100122ΛO M O O O M O Λr C2 稳定性与收敛性抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式: (2.1) 1k k AU BU F τ+=+其中1111(,), (,,)k k k TN N U u u F f f --==LL ，A 和B 是1N -阶矩阵。