（1）计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx
， 其中Δx 的值为①2； ②1； ③0.1； ④0.01.
（2）思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
例 已知2()f x x =+1，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率.
函数在某点处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率是
lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx ，
我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即
f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0
Δy
Δx .
例 已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线方程．
例 已知曲线y ＝x 2的切线分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)平行于直线y ＝4x －5；
(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；
(3)切线的倾斜角为135°.
【巩固练习】
1.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于
( ) A.1 B.12 C.－12 D.－1
答案： A
2.曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为 ( )
A.y ＝x －2
B.y ＝x
C.y ＝x ＋2
D.y ＝－x －2
答案： A
3.已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程.
.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝13
. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13).
(2)∵y ＝x 2＋4，
∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0
(Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.。