sin
x
5
2
4.
5
05
5
2
例 6 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx 中令x
而 (a), (b) .
例4 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
3
e4
dx
练习：
计算
e
a
0
f
( x)dx
0.
① f ( x)为偶函数，
a
a
f ( x)dx a
20
f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，
a
f ( x)dx 0. a
例
计算
1 2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dxห้องสมุดไป่ตู้
偶函数
奇函数
( ) b，
则有
b
a f ( x)dx
f [ (t)] (t)dt
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
令 (t) F[(t)], 有
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t ),
dx dt
(t )是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
x 1 t 0,
x 3 t 1,
4
2
1 3 4
1 1 x
dx 1
0 2t
1 2
dt t 1
2
0 1 2
1
t
1
1
dt
2[t
ln
t
1
]
0 1
2
2
1 2
ln
3 2
1
2
ln
3 2
例3 计算 ln 2 e x (1 e x ) dx. 0
解 令 t e x , dt e xdx,
x 0 t 0,
xat,
2
a
a2 x2dx a2 2 cos2 tdt a2
2
1 cos 2t dt
0
0
0
2
a2 2
t
1 2
sin
2t
2 0
a2 a2
22 4
练习：计算
a
1
dx. (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x 0 t 1, x ln 2 t 2,
ln 2 e x (1 e x ) dx
2
(1 t ) dt
0
1
[t 1 t2]2
21
4 3 5. 22
上例说明:
定积分的换元公式可以反过来使用.
即有:
b f [( x)]( x)dx
f (t)dt
a
即可以用t ( x)来引入新变量 t ,
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
下限也相应的改变为新变量的上、下限，且 新变量与旧变量的上、下限要分别对应.
(2) 求出 f[t]t的一个原函数 t 后，不必
象计算不定积分那样再要把 t 变换成原变 量 x的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分 别代入t 然后相减就行了.
例1 求
a a2 x2dx (a 0).
0
解 令 x a sin t dx a cos tdt
x 0 t 0, x a t ,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
2 0
. 4
例2 求 3 1 dx (a 0). 1 x2 1 x2
例3. 计算
解: 令 t 2x 1,则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1 2
(
1 3
t3
3
t
)
3 1
练习： 求
1 3 4
1 dx . 1 x 1
解 令 1 x t x 1 t2 , dx 2tdt ,
f
[(t )](t )dt
()
(),
( ) a、( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
(
)
(
)
f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
(1) 用 x=(t) 把变量 x 换成新变量 t 时，积分上
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
t
,
0
a
f
( x)dx
0
a
f
( t )dt
a
0
f
( t )dt ,
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
一、定积分的换元积分法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单调的且有连续
导数 (t ) ；
（ 3 ） 当t 在 区 间[ , ] ( 或[ , ] ) 上 变 化 时 ，
x (t ) 的 值 在[a, b] 上 变 化 ， 且 ( ) a 、
x
. ln x(1 ln x)
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
例5
计算
sin3 x sin5 xdx.
0
3