山米与白鹤
贝特西.贝尔斯
53换元法与分部积分法58677
一、定积分的换元法
定理1. 设函数 f(x) C [a ,b ],单值函数 x(t)满足:
1) (t)C1[,], () a ,() b ;
2) 在[,]上 a(t)b,
则 a bf(x )d x f[(t)](t)d t
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,
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例6.
证明
In
π2sinnxdx
0
π 2
cosn
xdx
0
结论牢记！！
n n n n 1 1 n n n n 2 3 2 3 5 4 4 3 3 2 1 2 ,π 2,
n n
为偶数 为奇数
证: 令 t π2x,则
π 2
sinn
0
xdx π0sinn(π 2t)dt 2
a T
T
(1 )a f(x)d x0f(x)d x 结论牢记！！
( 2 )a nfT ( x )d x n T f( x )d x( n N )并,由此计算
a
0
nπ
I0 1sin2xdx
解:
(1)
记
(a)aTf(x)dx,则 a
( a ) f( a T ) f( a )0
可见 (a)与a无关 因 ， (此 a ) (0 )即,
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备用题
1. 证明
f(x)
xπ 2
sinx
dx是以
为周期的函数.
x
证：
xππ
f(xπ) 2siundu
xπ
令 utπ
xπ
2 sint(π)dt x
xπ
xπ
2 sint dt 2 sinx dx
x
x
f(x)
f(x)是以 为周期的周期函数.
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π2π2cosntxddtx
00
令 usinn1x,vsixn,则 u (n 1 )sin 2 n xco x, s
v cx os
π
In [ cx o sn s i 1 x n ]02 (n1)0 π 2sin n 2xco 2xd sx
0
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In(n 1 )0 π 2sin n 2xco 2xd sx ((n n 1 1 ) )I0 n π 2 s2in ( n n 2 x1 (1 )I nsi2x n )d xIn0π2sinnxdx
b
b
u(x)v(x)dxu(x)v(x)
a
a
abu(x)v(x)dx
证: [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
两端[a在 ,b]上积分
u(x)v(x) b a
a b u (x )v (x )d x a b u (x )v (x )d x
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t)dt 0 f (x)dx
令xt
a
0[f(x)f(x)]dx
a
20 f (x)dx,
f(x)f(x)时
0,
f(x)f(x)时
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例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
当 x0时 ,t0; xa时 ,tπ 2.
π
∴
原式
=
a2
2
0
cos2tdt
y y a2x2
a220π 2(1co2st)dt
S
a2(t1sin2t)
π 2
πa2
O
22
04
ax
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例2.
计算
4
0
x2 dx. 2x1
解: 令 t 2x1,则 xt21, dxtdt, 且 2
当x0时,t 1; x4时, t 3.
分部积分法
换元必换限 凑微不换限 边积边代限
牢记奇（偶）函数，周期函数及正（余）弦函数n 次 幂的积分，如例3，4，6的结论！
思考与练习
1.
d xsi1n0(0xt)dt_s_in1_00x_____ dx 0
提示: 令 uxt,则
xsi1n0(0xt)dt 0sin100udu
0
x
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aT
T
a f(x)dx0f(x)dx
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( 2 )a nfT ( x )d x n T f( x )d x( n N )并,由此计算
a
0
n
0 1si2 nxdx
(2)
anT
n1
f (x)dx
akTT
f(x)dx
a
akT
k0
将 ak看 T (1)作 中a,的 则有
∴
原式 =
3
t21 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
1(1t33t) 3 22
23
13
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例3. 设 f(x ) C [ a ,a ],结论牢记！！ 偶倍奇零
(1) 若 f( x)f(x),则 a af(x)dx20 af(x)dx
(2) 若 f( x ) f(x ),则 aaf(x)dx0
且它们的原函数也存在 . 设F(x)是f(x)的一个原, 函
则F[(t) ]是 f[(t) ](t)的原函数 , 因此有
b
a
f
(x)
dx
F (b ) F (a )F[()]F[()]
f[(t) ](t)dt
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a bf(x )d x f[(t)](t) d t
说明:
1) 当 < , 即区间换为[,]时，定理 1 仍成立 .
abu(x)v(x)dxu(x)v(x)ba abu(x)v(x)dx
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1
例5. 计算 2arcsinxdx. 0
1
解: 原式 = xarcsixn 2
1 2
00
x dx 1 x2
π 11 2(1x2) 2 1d(1x2)
12 20
π
1
(1x2)2
1 2
12
0
π 3 1 12 2
n0
(cxo ssix)n 2dx
n0cox ssixndx
n20 sin x(4)dx
令 tx4
Байду номын сангаас
5
n
2
4
sint dt
4
n 2 sint dt 0
aT
(1) a f (x)dx
T
0 f (x)dx
n 2 sintdt2 2n 0
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二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u (x ),v (x ) C 1 [a ,b ],则
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[(t)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或凑微
f[(t)
](t)
dt
f
[(t)
]
d(t)
凑微不换限
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例1. 计算 a a2x2dx(a0). 0
解: 令 xasitn,则 d xaco tdts ,且
aT
(1) a f (x)dx
T
0 f (x)dx
a k T T
T
f(x)d x f(x)d x
a kT
0
T
n0f(x)dx(nN)
n
0
1si2 nxdx
n0 1si2nxdx
1si2n x是以 为
周期的周期函数
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n
0 1 s2 ix d n x n 01 s2 ix d n x
2. 设
解法1. lnx x3 f(t)dt 1
f (x3)
解法2. 对已知等式两边求导,
得
3x2f(x3)1x
思考: 若改题为
x3 f(3t)dtlnx 1
提示: 两边求导, 得
1 3
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3. 设 求
解:
(分部积分)
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作业
P253 1 (7) , (13) , (15) ,(19)， （26） ; 3 ; 7 (6), (11), (12)
由此得递推公式 Innn1In2
于是
I2m22mm1 2I22mmm232 I 2m443 12 I 0
I2m12
2m m 1
2I2m2mm121
I 2m354 32 I 1
而
π
I0
2 dx
0
π 2
,
π
I1
2sinxdx
0
1
故所证结论成立 .
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内容小结
换元积分法 基本积分法