数学必修二综合测试题一． 选择题*1.下列叙述中，正确的是（ ）（A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α（B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ（C ）因为AB α⊂，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂*2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）． (A)30 (B)45 (C)60 (D)135*3.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）．(A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2*4.长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）．A ．23B ．32C ．6D ．6*5.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为（ ）A 、2a πB 、22a πC 、32a πD 、a π24*6.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ）（A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在 **7.已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题：①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ②若m ⊥，m ∥， 则x yO x yO x yO xyO⊥③若m ∥ ，n ∥ ，则m ∥n ④若m ⊥ ， ⊥ ，则m ∥或m其中假命题．．．是（ ）．(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④**8.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）．**9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ * ）．(A) 4π(B) 54π(C) π (D) 32π**10.直线03y 2x =--与圆9)3y ()2x (22=++-交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ）．A ．52B ．43C ．23D ．556**11.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）A 、34k ≥或4k ≤-B 、34k ≥或14k ≤-C 、434≤≤-k D 、443≤≤k ***12.若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．[)∞+,1 B ． )43,1[-- C ．]1,43(D ．]1,(--∞二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．**13.如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．**14.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 ． **15．已知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为 ．***16．如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图②），则图①中的水面高度为 ．三．解答题：**17．（本小题满分12分）如图，在OABC 中，点C （1，3）．（1）求OC 所在直线的斜率；（2）过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．**18．（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V －ABCD 中，AC BD M VM 与交于点，是棱锥的高，若6cmAC=，5cmVC=，求正四棱锥V-ABCD的体积．***19．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．***20. （本小题满分12分）已知直线1l：mx-y=0 ，2l：x+my-m-2=0王新敞（Ⅰ）求证：对m∈R，1l与2l的交点P在一个定圆上；（Ⅱ）若1l与定圆的另一个交点为1P，2l与定圆的另一交点为2P，求当m在实数范围内取值时，⊿21PPP面积的最大值及对应的m．***21. （本小题满分12分）如图，在棱长为a的正方体ABCDDCBA-1111中，（1）作出面11A BC与面ABCD的交线l，判断l与线11A C位置关系，并给出证明；（2）证明1B D⊥面11A BC；（3）求线AC到面11A BC的距离；（4）若以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出1,B B 两点的坐标.****22．（本小题满分14分）已知圆O ：221x y +=和定点A (2,1)，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =．(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．参考答案一.选择题 DBACA BDCCD AB二.填空题 13. )2,1(- 14. 2a 3π 15. 相离16. (1a三.解答题17. 解: (1) 点O （0，0），点C （1，3），∴ OC 所在直线的斜率为30310OC k -==-.（2）在OABC 中，//AB OC ,CD ⊥AB ，∴ CD ⊥OC .∴ CD 所在直线的斜率为13CD k =-. ∴CD所在直线方程为13(1)3y x -=--，3100x y +-=即.18. 解法1：正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，11163222MC AC BD ∴===⨯=(cm)且11661822ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=(cm 2).VM 是棱锥的高,∴Rt △VMC 中，4VM ==(cm).∴正四棱锥V －ABCD 的体积为111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(cm 3).解法2：正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，∴ 11163222MC AC BD ===⨯=(cm).且AB BC AC === . ∴2218ABCD S AB ===(cm2).VM 是棱锥的高, ∴Rt △VMC 中，2222534VM VC MC =-=-=(cm).∴正四棱锥V-ABCD的体积为111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(cm 3). 19. （1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴.11//EF B D ∴. 又B 1D 1平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1.（2） 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又 B 1D 1平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．20. 解：（Ⅰ）1l 与 2l 分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，∴ 1l 与 2l 的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：0)1y (y )2x (x =-+- 即0y x 2y x 22=--+王新敞（Ⅱ）由（1）得1P （0,0）、2P （2,1）， ∴⊿21P PP 面积的最大值必为45r r 221=⋅⋅．此时OP 与12P P 垂直，由此可得m=3或13-．21.解：（1）在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，易知BE 即为直线l ，∵AC ∥11A C ，AC ∥l ，∴l ∥11A C .（2）易证11A C ⊥面11DBB D ，∴11A C ⊥1B D ，同理可证1A B ⊥1B D ，又11A C ⋂1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .（3）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点1B 到面11A BC 的距离，记为h ，在三棱锥111B BA C -中有111111B BA C B A B C V V --=，即1111111133A BC ABC S h S BB ∆∆⋅=⋅，∴h =.（4）1(,,0),(,,)C a a C a a a22. 解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222PQ OP OQ=-.又由已知PQ PA =，故22PQ PA =.即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b a =-+.PQ ===故当65a =时，min PQ =即线段PQ解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 |2 2 + 12= 255 . （3）设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1，1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP===，故当65a=时，minOP=此时, 3235b a=-+=，min1R.得半径取最小值时圆P的方程为22263()()1)55x y-+-=．解法2：圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’与l的交点P0.r =32 2 + 1 2－1 =355－1.又l’：x－2y = 0,解方程组20,230x yx y-=⎧⎨+-=⎩，得6,535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P0(65,35).∴所求圆方程为22263()()1)55x y-+-=.。