成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
三、利用常见的不等式解决有关函数极值的问题。
这一类方法在求极值的广泛采用。但具有很强的技巧性，下面介绍几个常见
的不等式以及要此方面的运用。 1. 如果 a1，a2, ……an 是非负数，则
当且仅当
a1=a2……=an 时才取等量号。
例 7 求函数
的极大值。
使这一点到原点的距离最小的几何问题。其实质就是求直线到原点的距离。对于
此问题，我们就将复杂的二无函数问题转化为简单的解析几何问题。 例 6 若 x2+3y2－4x+6y+3≤0，则 x－3y 的最值。
分析 求二元函数 f(x、y)=x－3y 在题中约束条件下的最值，如果我们从纯
代数的角度入手，那么我们一般会将二元函数转化为一元二次函数，再根据约束
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的 6 种方法
对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函 数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。因此，只要我们做出了函数图像， 那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。下面，我就从几个 方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
差，根据三角形的性质，可以找出动点所处位置使得函数取得极值。
3. 将函数关系式转化为解析几何中曲线所对应的方程，从而将函数与解析
几何有机的结合起来。
例4 求
的最值。
分析 此函数所表示的几何意义比较隐蔽。但经过分析后，如果我们令
经过消参以后，得
此时函
数 f(x、y)
所表示的几何意义就椭圆在第一象限内的图像。所求极值问题
的位置，于是我们就将问题简化。
2
结论：在求函数极值的许多实例中，我们都可以用函数图像来解决这一类问
题，我们通常称之为数形结合的思想。用数形结合解决函数极值问题的关键在于：
深刻理解并挖决函数解析式所隐含的几何意义，能在坐标平面内大致勾画出与之
对应的图象，建立解析式与图像之间的对应关系。这种数与形的结合思想优点在
5
1
圆 x2+y2=1。因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆 x2+y2=10 上一点连
线的斜率的最大值与最小值。通过图形观察，很容易判断动点 B 在什么位置时取 得极值。
2. 转化为求距离的极值。 例3
分析
当函数关系可以改写为
由此可看出，我们很容易看出关
系式的几何意义是在 x 轴上的动点（x、0）到两定点（0、6），（2、2）的距离之
初等数学中函数极值问题被广泛运用。下面我们就从高等数学的观点讨论有关函
3
数极值问题。
1. 解 方 程 f`(x)=0, 如 果 它 的 根 x1, x2……xn 是 有 限 个 ， 计 算 出
f(x1),f(x2) ……f(xn); 2. 计算出区间[a、b]两端点的函数值 f(a), f(b);
= = 。 所以当 时，y 的最小值 。
例 12 求函数
的值域。
4
解：因
，
（0
），故
，故令
=
+
=
，
提示：从广义上讲，解数学题就是从提设中不断挖掘并利用隐含条件进行推
理和变形的过程。已知田间的变形应该是等价变形，相关元素的最值范围不可放
大或者缩小，而这是解题者易忽略的地方。
六、在复数中求极值的问题
例 13 复数 满足
像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来
并代入函数解析式求出其所对应的值。经过比较就得出了极值例如上题：f(－
2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、
、 =8，据此我们下面
给出解决这一类问题更一般的方法。 =max｛f(bi)、i=1、2、3……n｝, =min
，复数 使
为纯虚数。求 的
最大值。 解：因为
为纯虚数，所以复数
对应的点在虚轴上，故有
，即
，有
，故
，
，
故 的最大值为 5。
前面着重介绍了六种最重要的求极值方法：数形结合，不等式的运用，导数 等。相比较而言，数形结合的方法比较容易理解，因为它能明确极值所包含的几 何意义，学生容易接受，并且计算过程非常简单。而对于不等式的方法，尽管过 程比较简单，但是需要很强的技巧性，需要学生有浑厚的基本功。而对于导数解 法，这种方法是最常用的方法，它广泛应用于求函数极值的问题中。当然，求极 值的方法远非以上几种，这需要我们不断的探索和总结，最终将此类问题简单化。
解：
2. 不等式
（x＞0 a＞0）的应用。此不等式是均值不等式的
推广，它可以运用于形如
，这一类函数的极值
求解问题。 例 8 求函数
的最值。(x＞0)
分析 通常对此函数采用判别式法求值域，但如果采用判别式法其运算复杂，
并且还不能保证所求极值对应的自变量为在定义域范围内。而此题我们经过换元
以后可以运用不等式求解。
｛f(－bi),i=1、2、3……n｝.
二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1. 转化为求直线斜率的最值。
例 2 求函数
的最值
分析 函数解析式非我们常见的函数模型。通过分析我们发现该函数可以看 做过点 A（3、2）与 B（sin 、－cos ）两点直线的斜率。而动点 B 的轨迹是
两点间的距离之和。
设 P（x,0）为 x 轴上的点。A（0，2），B（2，1），则
,于是
本题转化为在 x 轴上求一点 P 到点 A、B 距离之和最短。这就是将代数最值为体
转化为平面几何最值问题。由平面几何知识知道，只要作点 A 关于 x 轴对称点
A
连接 与 x 轴的交点 P 即为所求。易知点 P 的坐标为（ ），则
解：令 t=x+1, 则函数为

t

1 2
1
(t＞0)
t
结论：在运用不等式解决极值问题时，我们应该熟练掌握一些基本不等式，
如：均值不等式，柯西不等式等，只有在熟练掌握这些不等式的前题条件下，我
们才能灵活运用。
四、 用高等数学的方法解决极值问题。
近年来，随着高等数学与初等数学的联系日益紧密，用高等数学的方法解决
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设 a≤x≤b,求函数
的极值。很容
易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么
就可以准确的找出函数的极值点。 例 1 设－2≤x≤3，求函数
解：若将函数示为分段函数形式。作出函数图像
的最值。
y
y 3x 1 y 3x 1
3. 比较＜f(x1),f(x2) ……f(xn)，f(a), f(b)的大小，其中最大一个是最大 值，最小一个是最小值。
在实际问题中，如果在（a ，b）内部 f’(x)=0 的根只有一个 x1,而且从实 际问题本身又可以知道在（a ，b）内必定有最大值或最小值，那么，f(x1)就是 所要求的最大值或最小值，不需要计算出 f(a)和 f(b)了。
例 9 求函数
在[－2、4]上的极值。
解 ： f`(x)=x2 － 2x+3, 令 f`(x) ≥0 ， 解 得 其 可 能 出 现 极 值 的 点 。
,
f (2) 35 , f (1) 10 , f (3) 10, f (14) 55
33ຫໍສະໝຸດ 3比较可知最大值为 ，最小值
例 10 设一边长为 a 的正方形的铁皮，从其各角截去同样的小正方形，做