目
极小值，且极大值不一定比极小值大．
链 接
3．函数 y＝f(x)的极值与导数的关系：解方程
f′(x0)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
基础 梳理
(1)如果在 x0 附近的左侧_f_′_(_x_)_＞___，0右侧__f′_(_x__)_＜__，0那
么 f(x0)是极大值；
(2)如果在 x0 附近的左侧_f_′(_x__)_＜____0，右侧_f_′_(_x_)_＞___，0那
1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时
取得极值，则 a 等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
栏 目
链
接
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由 f′(－3)＝0 得
a＝5.故选 D.
答案：D
自测 自 评 2．设函数 f(x)＝x2＋ln x，则( )
A．x＝12为 f(x)的极大值点
0
－
f(x)
↗
极大值 ln21e
↘
∴当 x＝12时，函数 f(x)有极大值，且极大值为 f12＝ln12－1＝ln21e.
题型2 已知函数的极值求参数值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x 在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和 栏
目 链
f(－解1析)是：f′函(x)数＝3fa(xx2＋)的2bx－极3，大值还是极小 接 值．所以 f′(1)＝f′(－1)＝0，即33aa＋－22bb－－33＝＝00，，
题型3 函数极值的应用
例3 已知a为实数，函数f(x)＝－
x3＋3x＋a.
栏
目
链
接
(1)求函数f(x)的极值；
解析：(1)由 f(x)＝－x3＋3x＋a，得 f′(x)＝－3x2＋3，
令 f′(2(x))当＝0a，为得 何x＝1值或时x＝，－1.方程f(x)＝0恰好 有两个实数根？
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在(－1,1)上是减函数，
栏
目
所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝
链 接
－2是极小值．
点评：对于求含参数函数的极 值问题，若参数对函数的单调性
跟踪 训练
2．设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R 有大于零的极值
点，则( )
A．a<－1
B．a>－1
栏
C．a>－1e
D．a<－1e
目 链 接
解得 a＝1，b＝0.
所以 f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
栏
令 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则 f′(x)＞0，
所以 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
若 x∈(－1,1)，则 f′(x)＜0，
x (－∞，1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
y′ ＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值－61 ↘ 极小值－31
↗
∴当 x＝1 时，f(x)有极大值，且极大值为 f(1)＝－16；
当 x＝2 时，f(x)有极小值，且极小值为 f(2)＝－31.
栏 目
链
点评：求可导函数 f(x)的极值的方法：
接
(1)求导数 f′(x)；
x1－＋1x22≥0，所以函数 y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选 D.
答案：D
栏 目 链 接
题型1 求函数的极值 例1求函数 f(x)＝13x3－32x2＋2x－1 的极值．
解析：f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
栏
目
令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝2.
链 接
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
么 f(x0)是极小值．
栏 目
链
例：函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝________处取得极小值． 接
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为 (－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，∴f(x)在 x＝2 处取 得极小值．
答案：2
自测 自评
任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有_f_(_x__)_＜__，f(则x称0)函数
f(x)在点 x0 处取___极___大____值，记作 y 极大＝f(x0)，并把 x0 称为函
栏 目
链
数 f(x)的一个_极___大____值．如点果都有_f_(_x_)_＞___，f(则x称0)函数 f(x)在点 接
第一章 导数及其应用
1．3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数
栏 目 链 接
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条
件．
栏 目
2．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函 链
接
数一般不超过三次．
栏 目 链 接
基础 梳理
1．极值的概念：已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，b)
不是极值．
跟踪 训练
1．已知函数 f(x)＝ln x－2x，求函数 f(x)的极值．
解析：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x1－2.
令 f′(x)＝1x－2＝0，解得 x＝12.
栏 目
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
链 接
x
0，12
1 2
12，＋∞
f′(x) ＋
x0 处取___极___小___值_，记作 y 极小＝f(x0)，并把 x0 称为函数 f(x)的
一个__极___小____值_．点极大值与极小值统称为___极___值__．极大值点
与极小值点统称为__极___值___．点
基础 梳理
2．函数的极值就是函数在某一点附近的小区间
而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或 栏
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
栏
B．x＝12为 f(x)的极小值点
目 链 接
C．x＝2 为 f(x)的极大值点
D．x＝2 为 f(x)的极小值点
答案：D
自测 自评
3．已知函数 y＝x－ln(1＋x2)，则函数 y 的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．无极值
栏
目
链
解析：x∈R，y′＝1－1＋1x2·(1＋x2)′＝1－1＋2xx2＝ 接
(2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，
导函数 f′(x)的符号如何变化．
栏
①如果 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值．
目 链
接
②如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值．
③如果在 f′(x)的根 x＝x0 的左右两侧符号不变，则 f(x0)