行线，与抛物线在第一象限的交点为 G，已知抛物线在点 G的 切线经过椭圆的右焦点F1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端 点，试探究在抛物线上是否存在点 P，使得△ ABP为直角三角 形．若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由 ( 不必具
体求出这些点的坐标)
2
∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，－2， ∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y＝4x－8， y＝－2x－2，联立方程组解得x＝1，y＝－4，故点A的纵 坐标为－4.
答案：－4
直线与抛物线的位置关系 【例 2】 已知抛物线 y2 ＝ 4x 及点 P(2,2) ，直线 l 的斜率
为1且不过点P，它与抛物线交于A，B两点．
Hale Waihona Puke x2 2x 所以 x1，x2 是方程2p－ p －2p＝0 两根， 即 x2－4x－4p2＝0. 所以 x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2. 1 2 2 所以 y1＋y2＝2p(x1＋x2) 1 ＝2p[(x1＋x2)2－2x1x2] 1 ＝2p(16＋8p2)． 又因为线段 AB 的中点纵坐标为 6，所以 y1＋y2＝12，
第七章
第十节 抛 物 线 （二）
直线与抛物线相切问题 【例1】 方程． 自主解答： 过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切
线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，求抛物线
1 2 x 解析：x ＝2py 变形为 y＝2px ，所以 y′＝p.
2
x1 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 y′|x＝x1＝ p . x1 所以切线 AM 方程为 y－y1＝ p (x－x1)， x1 x2 1 即 y＝ p x－2p. x2 x2 2 同理 BM 方程为 y＝ p x－2p. 又(2，－2p)在两条直线上， 2x1 x2 2x2 x2 1 2 所以－2p＝ p －2p，－2p＝ p －2p.
1 即2p(16＋8p2)＝12，解得 p＝1 或 p＝2. 所以抛物线方程为 x2＝2y 或 x2＝4y.
点评：直线与抛物线的相切问题，可用两种方法求斜率： (1)设切线方程为 y ＝kx＋b(斜率存在)，将切线方程代入抛
物线方程中，消去x(或y)，由Δ＝0得到斜率(或斜率的关系式)，
斜率不存在的情况，由图形确定切线方程． (2)若抛物线方程为y＝ 切线的斜率． ，用求导法得过抛物线上某点的
1 2 解析：(1)由 x ＝8(y－b)得 y＝8x ＋b，
2
当 y＝b＋2 时，得 x＝± 4，∴点 G 的坐标为(4，b＋2)． 1 由 y′＝4x，y′|x＝4＝1 得 过点 G 的切线方程为 y－(b＋2)＝x－4， 即 y＝x＋b－2， 令 y＝0 得 x＝2－b， ∴点 F1 的坐标为(2－b,0)． 由椭圆方程得点 F1 的坐标为(b,0)， ∴2－b＝b，即 b＝1，即椭圆和抛物线的方程分别为 x2 2 2 ＋ y ＝ 1 和 x ＝8(y－1)． 2
变式探究 1. (2012· 辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点
P，Q的横坐标分别为 4，－2，过P，Q分别作抛物线的切 线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________． 解析：∵点P，Q的横坐标分别为4，－2，代入
抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.
1 2 由 x ＝2y，则 y＝2x ，∴y′＝x，
变式探究
2．(2013· 江苏金陵中学模拟)已知直线y＝2x＋k被拋物 线x2＝4y截得的弦长AB为20，如图所示，O为坐标原点． (1)求实数k的值； (2)问点C位于拋物线上 何处时，△ABC面积最大？
解析：(1)将y＝2x＋k代入x2＝4y得x2－8x－4k＝0，由Δ
＝64＋16k>0可知k>－4，又弦长AB = 5× 64＋16k＝20，解 得k＝1. (2)当k＝1时，直线为y＝2x＋1，要使得内接△ABC面
y(或x)的二次方程，则Δ＞0，直线与抛物线相交，Δ＝0，
直线与抛物线相切，Δ＜0，直线与抛物线相离．
(2)弦长公式： 若直线 y＝kx＋b 与圆锥曲线相交于两点 A， B， 且 x1，x2 分别为 A，B 的横坐标，则|AB|＝ 1＋k2· |x1－x2|，若 y1， 1 y2 分别为 A，B 的纵坐标，则|AB|＝ 1＋k2|y1－y2|，若弦 AB 所 在直线方程设为 x＝ky＋b，则|AB|＝ 1＋k2|y1－y2|.
2 my 2 m D 当x＝0时，y = ＝ ＝2， 2 yD＋m 2m＋m －2m 即直线AD与y轴的交点为(0,2)，同理可得BC与y轴的交
点也为(0,2)，所以AD，BC交于定点(0,2)． 点评：(1)判断直线与抛物线的位置关系，用方程思想， 即将直线方程代入抛物线方程中，消去 x( 或 y) ，得到关于
积最大，则只需使得y′C＝ ×2xc＝2，即xC＝4，即C位 于点(4,4)处时，△ABC面积最大．
抛物线与其他圆锥曲线知识的综合
x2 y2 【例3】 (2012· 合肥模拟)设b>0，椭圆方程为 2＋ 2 ＝1，抛 2b b 2 物线方程为x ＝8(y－b)．如图所示，过点F(0，b＋2)作x轴的平
由Δ>0，解得b<1. 所以直线l在y轴上截距的取值范围是(－∞， 0)∪(0,1)．
(2)证明：设 A，B
m2 n2 坐标分别为 4 ，m， 4 ，n.
因为 AB 斜率为 1，所以 m＋n＝4. 设点 D
y2 D 坐标为 4
，yD
，
因为 B，P，D 共线，所以 kPB＝kDP， 8 －2 n 2 m 得 yD＝ ＝ ， 2－n m－2 yD －m m2 ∴直线 AD 的方程为 y－m ＝ y2 m2x－ 4 ， D 4 －4
(1)求直线l在y轴上截距的取值范围； (2) 若 AP ，BP 分别与抛物线交于另一点 C ， D ，证明： AD，BC交于定点． 自主解答：
(1)解析：设直线l的方程为y＝x＋b， 由于直线不过点P，因此b≠0. 由
y＝x＋b， 2 得x ＋(2b－4)x＋b2＝0， 2 y ＝4x