( R) 或 5 ( R)
4
4
求直线的极坐标方程步骤:
1、根据题意画出草图； 2、设点M(ρ,θ)是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
例 4 设点P的极坐标为(ρ0,θ0,) ，
M
直线l过点P且与极轴所成的角为a, 0 P
5
(3) sin 4
(4) sin(2 ) 3
3
小结：直线的几种极坐标方程。
1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定的角度
若圆心的坐标为M(ρ0,θ0)，圆的半径为r，求圆的方程。
解：当0 0时，设圆上任意一点为P(， )，在
MOP中，由余弦定理知
MP2 =OM2 +OP2 -2OM OP cos POM .
(４)圆心在Ｃ(0 , ０)，半径为r 2 -20 cos( - ０) + 0 2-
r2=0
练习2、按下列条件写出圆的极坐标方程：
(1)以A(3,0)为圆心，且过极点的圆；
(2)以B(8， )为圆心，且过极点的圆；
2 (3)以极点O与点C(-4,0)连接的线段为直径的圆；
(4)圆心在极轴上，且过极点与点D(2 3， )的圆。
立的，若以双曲线的左焦点和椭圆的右焦点建立极 坐标系，它们的统一方程什么？
= ep 1 e cos
2、统一方程中的p、e分别是什么？
p表示焦准距；e表示离心率。
练习1
1、已知抛物线的极坐标方程为= 3 ,则 1- cos
抛物线的准线的极坐标方程为： cos 3
则2、椭椭圆圆的的极长坐轴标长方为程10为，：短轴=长5-为4 c96o，s
3、双曲线的实轴长为2 5，焦点到准线的
距离为4，则双曲线的极坐标方程为： 1
4 5
5
cos
数学运用
例1、2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五 号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的 返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点 的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点 （离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km， 然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取 6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的 极坐标方程。
上式是过（0，0），倾斜角为a的直线的极坐标方程.
练习：按下列条件写出直线的极坐标方程： (1)经过极点和点A(6，5 )的直线； (2)经过点B(5， )，且垂直于极轴的直线；
(3)经过点C(8， )，且平行于极轴的直线；
6
(4)经过点D(2 3,0)，且倾斜角为 2 的直线；
3
(1)
(2) cos 5
思考2: 怎样求曲线的极坐标方程？
与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程 就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后 列出方程f (,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授
例1、求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程。
分析：如图，所求的射线上
M
任一点的极角都是π/4，
其极径可以取任意的非负数。故所
2 sin
4
C. 2 cos 1 D. 2 sin 1
例3、在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中， 求过极点O的弦的中点的轨迹。
练习5:在极坐标系中, 已知圆C的圆心C(3, /6),半径
r=3 ① 求圆C的极坐标方程。 ② 若Q点在圆C上运动 ,P在QO的延长线上,且 OQ:OP=3:2, 求动点P的轨迹方程。
数学运用
例2、求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两 部分的倒数和为常数。
练习2、
已知抛物线y2=x的焦点为F。 ① 以F为极点, x轴正方向为极轴的正方向, 写出此抛 物线的极坐标方程； ② 过F作直线l交抛物线于A、B两点,若|AB|＝4,运用 抛物线的极坐标方程, 求直线l的倾斜角。
练习3
求直线的极坐标方程为
( 0)
4
﹚4 o
x
引申1：求过极点, 倾角为5π/4的射线的极坐标方程 引申2：求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较 起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两 条射线组合而成。原因在哪？
原因在ρ≥0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体 实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为
在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的 几何定义，求出曲线的极坐标方程．
设到定点F到定直线l的距离为p，求到定 点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 的极坐标方程。
F l
对圆锥曲线的统一极坐标方程 = ep ， 1 e cos
请思考讨论并深入了解下述几个要点： 1、该方程是以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点建
曲线 =
2
3-2cos
的一条准线方程是
cos
1,
其另一条准线方程是： cos 13
5
课堂小结
圆锥曲线的统一极坐标方程= ep 中，极点的位置，p的意义，e1的 e意co义s 分别是什么？
我们已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有 两种几何定义，其中，第二定义把三种圆 锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆 锥曲线的第二定义．
到定点F(焦点)的距离与到定直线l(准线)的 距离比是一个常数e(离心率)的点的轨迹。 当e∈(0，1)时，轨迹为椭圆， 当e∈(1，+∞)时，轨迹为双曲线， 当e=1时，轨迹为抛物线．
常用曲线的极坐标方程 ----直线和圆的极坐标方程
新课引入
思考1：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为_x_=_3_; 过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为__x_=_3__ 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线方程为_x_=_a_
特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可 以取任意值。
1、当圆心位于M(r, 0)时，由上式可得圆的极坐
标方程是; =2rcos
2、当圆心位于M(r, )时，由上式可得圆的极坐
2
标方程是 =2rsin
练习1: 求下列圆的极坐标方程 (１)圆心在极点，半径为2； (２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)圆心在(a ,/2)，半径为a；
＝2 ＝2acos ＝2asin
可得 2 -20 cos( 0 ) 02 r 2 0
当0 =0时，圆心位于极点，圆的 极坐标方程是 =r，亦满足上面
的方程。故圆心为(0，0 )，半径
O
P
r
0
0
M x
为r的圆的极坐标方程是 2 -20 cos( 0 ) 02 r2 0
运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程。
求直线l的极坐标方程。
﹚0 ﹚a
o
x
解：如图，设点M(ρ,θ) 为直线上除点P外的
任意一点，连接OM，在△MOP中有
OP OM sinOMP sin OPM
0 sin(a ) sin(a 0)
sin(a ) 0 sin(a 0 )
显然点P的坐标也是它的解。
sin(a ) 0 sin(a 0 )
6
(1) =6 cos
(2) 16sin
(3) 4cos (4) 4cos
辨析:圆心在不同位置时圆参数方程和特征.
练习3: 极坐标方程分别是 ＝cos 和 ＝sin 的
两个圆的圆心距是多少?
2
2
练习4: 以极坐标系中的点(1,1)为圆心, 1为半径的圆
的方程是 (C
)
A.
2 cos
4
B.