极坐标的几种常见题型一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+．即0422=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程． 同理0422=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程．(II)解法一:由⎩⎨⎧=++=-+04042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0011y x ，⎩⎨⎧-==2222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．解法二: 由⎩⎨⎧=++=-+04042222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是(A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θθρ2cos sin 8=去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2=8y ,其准线方程为y=2-,在极坐标系中方程为2sin -=θρ,故选C.例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,2π),(1,23π),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________.解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b 2=a 2-c 2=3,故所求椭圆的直角坐标方程为4322y x +=1 类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是1cos 4122-=θρ,则它的直角坐标方程是___________.(答案:3x 2-y 2=1)2(1998年全国)曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 (A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4 (答案:B) 3(2002北京)已知某曲线的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕtan sec y x (ϕ为参数)若以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是(A)1=ρ (B)12cos =θρ (C)12sin 2=θρ (D)12cos 2=θρ (答案:D)二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性: 1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程: ρsin(α-θ)=a. 2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ; (3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -;(6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺 时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到. 例4(1990年全国)极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 解:由已知极坐标方程及三角公式得:2ρ(1-cos θ)=5,∴2ρ=2ρcos θ+5,由互化公式得222y x +=2x+5,平方整理得y 2=5(x+45),方程表示抛物线,选D. 评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型.类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是(A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987年全国)极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 3(2001年广东、河南)极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案:D)4(2003北京)极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D)例5(1994年全国)极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆解:曲线ρ=cos(4π-θ)=cos(θ-4π)是把圆ρ=cosθ绕极点按逆时针方向旋转4π而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易得出答案.方程ρcos(θ-θ0)=0表示一条直线,方程ρ=acos(θ-θ0)表示半径为2||a,圆心为(2||a,θ0)的圆,要注意两者的区别.例6(2001年全国)极坐标方程ρ=2sin(θ+π)的图形是解:圆ρ=2sin(θ+4π)是把圆ρ=2sinθ绕极点按顺时针方向旋转4π而得,圆心的极坐标为(1,4π),故选C.类题:1(2002江苏)极坐标方程θρcos=与θρcos=21的图形是(答案:B)2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(),2π且过极点的圆的方程为(A) θρcos22=(B)θρcos22-=(C)θρsin22=(D)θρsin22-=(答案:B)三、判断曲线位置关系例7(2000年京皖春)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系(A) 垂直(B) 平行(C) 相交但不垂直(D) 重合解:直线ρsin(θ-α)=1是把直线ρsinθ=1绕极点按逆时针方向旋转α角而得, 从而两直线平行,故选B.评注:对直线ρsin(θ-α)=1与直线ρsinθ=1的关系要十分熟悉.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cosθ+6sinθ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A) ρsinθ=3 (B) ρsinθ = –3 (C) ρcosθ =2 (D) ρcosθ = –2解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即ρsinθ=3,故选A.评述:注意直线的直角坐标方程极易求出.类题:1(1992年上海)在极坐标方程中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程是(A) ρsinθ=2 (B)ρcosθ=2 (C)ρcosθ= 4 (D) ρcosθ=- 4(答案:B)2(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,2π)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______.(答案: ρsin θ=2)3(1994年上海)已知点P 的极坐标为(1,π),那么过点P 且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为(A)ρ=1 (B)ρ=cos θ (C)ρ=θcos 1-(D)ρ=θcos 1(答案:C) 4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (A)ρ=2cos(θ-4π) (B)ρ=2sin(θ-4π) (C)ρ=2cos(θ-1) (D)ρ=2sin(θ-1) (答案:C)五、求曲线中点的极坐标例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.解:在直角坐标系中,A 点坐标为(0,1),B 在直线x+y=0上, AB 最短,则B 为)21,21(-,化为极坐标为)43,22(π. 例10(1999年上海)极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为__________.解:由5ρ2cos2θ+ρ2-24=0得5ρ2(cos 2θ-sin 2θ)+ρ2-24=0化为直角坐标方程得16422=-y x ,该双曲线的焦点的直角坐标为(10,0)与(-10,0),故所求 焦点的极坐标为(10,0)、(10,π).评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识,掌握点的直角坐标与极坐标的对应关系极为有用. 例11(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆ρ=4cos θ+3sin θ的圆心的坐标是(A) (25,arcsin 53) (B)(5,arcsin 54) (C)(5,arcsin 53) (D)(25,arcsin 54) 解:由ρ= 4cos θ+3sin θ=5(54cos θ+53sin θ)=5cos(θ-φ)(其中sin φ=53)所以所求圆心坐标为(25,arcsin 53),故选A.类题：(2002上海)若A 、B 两点的极坐标为A(4,3π),B(6,0),则AB 中点的极坐标是_________.(极角用反三角函数值表示). 答案.(43arctan ,19)六、求距离例12(2007广东文)在极坐标系中，直线 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线 的距离为___________. 解: 将直线 的极坐标方程ρsin θ=3化为直角坐标系方程得:y=3, 点(2,6π)在直角坐标系中为(3,1),故点(2,6π) 到直线 的距离为2. 评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化.例13(1992年全国、1996年上海)极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)22 解法一:两圆的圆心坐标分别为(21,0)与(21,2π),由此求得圆心距为22,选D. 解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x-21)2+y 2=41与x 2+(y-21)2=41,由此求得圆心距为22,选D.评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解,一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案. 例14(1997年全国)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是_______. 解法一:化直线方程为ρ=)4sin(22πθ+,根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数ρ的最小值,当sin(θ+4π)=1时, ρ取最小值22即为所求. 解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1, 应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为22. 类题:1(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ= 4cos θ于A 、B 两点，则|AB|=______. (答案:23) 2(2004上海)在极坐标系中,点M(4,3π)到直线 :4)sin cos 2(=+θθρ的距离d=__________________. (答案:5152) 七、判定曲线的对称性例15(1999年全国)在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称解:把圆ρ= 4sin θ绕极点按逆时针方向旋转3π便得到曲线ρ= 4sin(θ-3π)=)65cos(4)65cos(4)]3(2cos[4πθθππθπ-=-=--,知其圆心坐标为(2,65π),故圆的对称轴为θ=65π,应选B.评述:方程表示的曲线是圆,为弄清轴对称或中心对称的问题,关键是求出其圆心的坐标. 八、求三角形面积例16(2006上海)在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 . 解:如图所示,在△OAB 中，656532,5||,4||ππππ=--=∠==AOB OB OA5sin 21=∠=⇒∆AOB OB OA S AOB评述:本题考查极坐标及三角形面积公式.。