基于状态估计值的反馈控制：u = Fxˆ 控制问题：寻找状态观测器和状态反馈增益矩阵，使闭环控 制系统内部稳定，而且
Tzw (s)
6

< , 次优问题
min Tzw (s) ,
最优问题
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
H∞控制问题
w u GG((ss)) z y
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2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
控制对象的假设条件
(1) (A, B1)是可稳定的，(A, B2)是可稳定的； (2) rank D12= m2，即矩阵D12是列满秩的； (3)
C1 D12
(4) (C1 , A)是可检测的，(C2 , A)是可检测的； (5) rank D21= p2，即D21是行满秩的； (6)
x& = Ax + B1 w + B2 u G(s) : z = C1 x + D11 w + D12 u y = C2 x + D21 w + D22 u
KK((ss))
A B1 G(s) = C1 D11 C2 D21
B2 G11 (s) G12 (s) Gij (s) = Ci (sI A) B j + Dij D12 = G21 (s) G21 (s) D22 最优：min Fl (G, K )
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鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
假设条件 (2), (3), (5), (6)的进一步说明
G22 (s) = N2 (s)M
1 2
X2 (s) Y (s ) M (s)2 Y2 (s) 2 =I (s)M% (s) N% 2 (s), % % N2 (s) M 2 (s) N2 (s) X 2 (s)
1989：Doyle等发表著名的DGKF论文，获得H∞控制问题 的输出反馈控制解——H∞控制理论形成。 d
1 S= 1 + PC WS
2

r
e
CC
u
PP
y
<
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鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
状态空间H∞控制问题
主要讨论三种形式： H∞状态反馈控制 静态状态反馈增益矩阵的设计
< Tzw (s) = Fl (G, K ) = G11 + G12 K ( I G22 K ) 1 G21 次优：Fl (G, K )
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鲁棒控制理论及应用
Hale Waihona Puke 中南大学信息科学与工程学院
吴敏
关于变量和矩阵的维数
m2 z R , y p1 R x R n, w R m,1 u R ， p2
控制器为输出反馈补偿器：
& = Ak + B k y
u = C k + D ky
K =
Ak Bk
Ck Dk
Tzw (s) = Fl (G, K )
控制问题：寻找动态输出反馈补偿器K，使闭环系统内部稳 定， 而且 Tzw (s) < , 次优问题
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min Tzw (s) ,
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
第五讲：
状态空间H∞控制理论
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鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
H∞控制的提出与发展
1981：Zames利用H∞范数作为性能指标，提出最小灵敏度 控制问题——H∞控制问题；
1988：Zhou获得H∞控制问题的状态反馈控制解；
最优问题
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中南大学信息科学与工程学院
吴敏
关于态观测器的H∞状态反馈控制问题
w u
G
y
z
同维的状态观测器： ˆ + B1 y + B 2 u x = Ax
降维的状态观测器：
& = Aˆ + ˆB1 y +ˆB 2 u
FF
状态观测器 H∞控制器K
ˆ y xˆ = Cˆ + D
A R n× n , B1 R n× m1 , B2 R n× m2
C1 R p1 × n , C2 R p2 × n
D11 , D12 , D21 , D22为相应维数的矩阵 G= , Gij = Ci (SI A)1 B j + D j , i = 1, 2
G
只要G22为严格真的，即D22=0 ，则闭环控制系统是良定的， 因此一般假设D22=0。
最优问题
2007年10月9日
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H∞输出反馈控制问题
w
G K
y
z
u
x & = Ax + B1 w + B2 u A B 1 B2 z = C1 x + D11 w + D12 u G = C1 D11 D12 C2 D21 D22 y = C2 x + D21 w + D22 u
H∞输出反馈控制 输出反馈补偿器的设计 基于状态观测器的H∞状态反馈控制 状态观测器的设计与静态状态反馈增益矩阵的设计
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H∞状态反馈控制问题
w
u
G
y
z
F 状态反馈控制：u=Fx
x & = Ax + B1 w + B2 u z = C1 x + D11 w + D12 u y=x
A G = C1 I B1 B2 D11 D12 0 0
zw (s) = (C1 + D12 F )(sI A B2 F ) 1B1 + D11
控制问题： 寻找状态反馈增益矩阵F，使A+B2F稳定，而且 Tzw (s) < , 次优问题
4 min Tzw (s) ,
A j I B 1 rank C2
(7) D22 =0；
0 (8) D12 = ; I m2
(9) D21 = 0 I p 。
2
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2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
假设条件的说明
条件(1)~(3)是H∞状态反馈控制问题必需的； 条件(1)~(6)是H∞输出反馈控制问题必需的； 在条件(1), (4)中是(A, B2)可稳定的和(C2 , A)是可检测的 ， 是保证闭环控制系统内部稳定的充分与必要条件 ； 条件(2), (3), (5), (6)是保证存在H∞最优控制器,使 Tzw (s) 能够最小化，对于次优问题则未必是必要的。