90 再次证明了切应力互等定理
3. 最大正应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
①最大正应力的方位
令 d d 2 [x 2ys2 in xc y2 o ] s 0
tg20
2xy x y
00 90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
二、应力状态的研究方法
1.单元体（Element body）
y
y
2.单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小，每个面 上应力均匀分布
（2）任意一对平行平面上的应力相等
z
z
xy x
x
（3）该单元体的应力状态就代表了一点的应力状态；
单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方
位截面上的应力。
3.普遍状态下的应力表示
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
t
e
dA dAcos α
a dAsinf
设斜截面的面积为dA , ae的面积为dAcos, af 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
F n 0d A (xd y A c o )ss i n (x d A c o )cs os (yd x A s i)n c o ( s y d A s i)n s i n 0
Mechanics of Materials
§5–1 应力状态的概念 §5–2 平面应力状态分析 §5–3 梁的主应力.主应力迹线的概念 §5–4 空间应力状态的最大应力 §5–5 广义胡克定律 §5–6 空间应力状态的应变能密度 §5–7 强度理论概述 §5–8 四种常用的强度理论
§5-1 应力状态的概念
的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按代数值
大小的顺序来排列, 即
123
三、应力状态的分类
1.空间应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零
2.平面应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
3.单向应力状态
三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
关于应力状态的判定：研究生巧答教授的提问
k
F
F
α
k
p
cos
co2s sin2
2
同一截面上不同点 的应力一般不同;
同一点不同方位截面 上的应力亦不同。
应力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
受力构件内一点的不同方位截面上应力情况的集合,称之
为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌。
应力状态分析就是研究这些不同方位截面上应力的变 化规律。看受力构件上的哪一截面上哪一点在哪一方位上 的应力最大，从而找出危险截面上的危险点，并确定该点 处的应力及其方向，然后建立强度条件。
y
y
z
z
xy x
x
P
A
P x
x
A
y
B
C z
P
x B x
Mx
zx
xz
yx
C
xy
4.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
5.主平面(Principal plane) 切应力为零的截面
6.主应力(Principal stress) 主面上的正应力
2 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
3 1
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直
y yx
x xy
一、平面应力状态的解析法
1.任意斜截面上的应力
假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时则为正 （2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
max( min
x 2
y)2
2 xy
比较
tan20
2xy x y
和
tan21
x y 2xy
1
可见
tan20
tan21
21202, 104
二、平面应力状态的图解法
1. 应力圆
将斜截面应力计算公式改写为
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
则确定主应力方向的具体规则如下
（1）当x> y 时,0 是x与max之间的夹角
（2）当x<y 时,0 是x与min之间的夹角
（3）当x=y 时,0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应
力情况直观判断出来
4.最大切应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
①最大切应力的方位
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
②最大正应力
将 0和 0+90°代入公式
x 2yx 2yc2 o s xs y2 in
得到max和min (主应力）
m m a in xx 2y( x 2y)2x 2y
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内
1 2
1 单向应力状态
回答：仅有一个主应力不为零
1
1 二向应力状态
回答：仅有一个主应力为零
2 2 3
零应力状态
1
1 三向应力状态
回答：
3 2
没有一个 回答：没有一个主应力为零 主应力为零
§5-2 平面应力状态分析
y
z
xy x
y
y yx xy
x
x
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .
单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、应力状态的概念
1.低碳钢和铸铁的拉伸与压缩实验
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
2.低碳钢和铸铁的扭转实验
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？ 结论：构件的破坏不仅在横截面上，也有可能沿其它斜截
面上，故不仅要研究横截面上的应力，也要研究斜 截面上的应力。
3.一点的应力状态
T
M
扭转 轴
弯曲 梁
令 d d 2 [x 2 yc2 o sxs y2 i n ] 0
tan21
x y 2xy
11 90
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
②最大切应力
将1和 1+90°代入公式
x
y
2
sin2xyco2s
得到max和min
F t 0d A (xd y A c o )cs o (s x d A c o )ss i n (yd x A s i)n s i n (y d A s i)n c o 0 s
化简以上两个平衡方程最后得
xy
2
x2yco2sxysin2
x 2ysin2xyco2s
不难看出 90 xy
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数