五，图像恢复和重建2007-3-55.1 概述和分类5.2 退化模型和对角化5.3 无约束恢复5.4 有约束恢复5.5 交互式恢复5.6 几何失真校正5.7 投影重建概述和分类图象恢复也称图象复,原图象恢复与图象增强相同之处是，它们都要得到在某种意义上改进的图象，或者说都希望要改进输入图象的视觉质量。

图象恢复与图象增强不同之处是，图象增强技术一般要借助人的视觉系统的特性以取得看起来较好的视觉结果，而图象恢复则认为图象是在某种情况下退化或恶化了(图象品质下降了)，现在需要根据相应的退化模型和知识重建或恢复原始的图象。

换句话说，图象恢复技术是要将图象退化的过程模型化，并据此采取相反的过程以得到原始的图象。

由此可见，图象恢复要根据一定的图象退化模型来进行。

在给定模型的条件下，图象恢复技术可分为无约束和有约束的两大类。

根据是否需要外来于预，图象恢复技术又可分为自动和交互的两大类。

另外根据处理所在域，图象恢复技术还可分为频域和空域两大类。

许多图象恢复技术借助频域处理的概念，但越来越多的空域处理技术得到应用。

从广义的角度上来看图象恢复，它还可包括对在图象采集过程中产生的几何失真(畸变)进行校正以及根据对物体的多个投影重建图象的技术。

前一种情况里将图象的几何失真看成一种退化，对其校正则看作是一种恢复过程。

后一种情况里将图象的投影看作一种退化过程，而将重建图象作为一种恢复手段。

退化模型和对角化5．2．1 退化模型H 可有如下4个性质：(1)线性：如果令k1和k2为常数，f1(x，y)和f2(x，y)为2幅输入图象，则：(2)相加性：式(5．2．2)中如果kl=k2=1，则变成：(3)一致性：式(5．2．2)中如果f2(x，y)=0，则变成：上式指出线性系统对常数与任意输入乘积的响应等于常数与该输入的响应的乘积，(4)位置(空间)不变性：如果对任意f(x，y)以及a和b，有：线性系统的响应只与在该位置的输入值有关而与位置本身无关。

(1)图(a)是1种非线性退化的情况，摄影胶片的冲洗过程可用这种模型表示，摄影胶片的光敏特性是根据胶片上留下的银密度为曝光量的对数函数来表示的，光敏特性除中段基本线性外，两端都是曲线。

(2)图(b)表示的是1种模糊造成的退化。

对许多实用的光学成象系统来说，由于孔径衍射产生的退化可用这种模型表示。

(3)图(c)表示的是1种目标运动造成的模糊退化。

(4)图(d)表示的是随机噪声的迭加，这也可看作1种具有随机性的退化。

退化模型的计算-对2个函数f(x)和h(x)进行均匀采样，其结果为尺寸A 和B的2个数组。

扩展函数尺寸到M≥A+B-1卷积的循环矩阵表示H 阵计算示例:1-D 退化系统计算－对A=4和B=3，可取M=6。

这时需要在f(x)后补2个为零的元素，在A(z)后补3个为零的元素，H 为6 x 6矩阵。

H 是1个循环矩阵(每行最后1项等于下1行最前1项，最下1行最后l 项等于第1行最前1项)以上结果推广到2-DHi 是1个循环矩阵循环矩阵对角化将H 的M 个本征矢量组成1个M x M 的矩阵W ：1.循环矩阵的对角化－循环矩阵H(设为M x M)的本征矢量和本征值分别为：对角矩阵D其元素是H 的本征值，即D(K ，K)=λ(k)2.块循环矩阵的对角化3.退化模型对角化的效果大系统方程的求解通过计算MxN 的傅里叶变换完成。

无约束和有约束恢复在对n没有先验知识的情况下，需要寻找1个f的估计，使得H 在最小均方误差的意义下最接近f，即要使n的模或范数(norm)最小：有约束恢复选取的1个线性操作符Q ,使得║Q ║2最小。

这个问题可用拉格朗日乘数法解决。

L是拉格朗日乘数，取s=1／L－“冈书”翻译不准确在一幅图像中惟一存在的退化是噪声, 当仅有加性噪声存在时，可以选择空间滤波方法。

在这一特殊情况下，图像的增强和复原几乎是不可区别的。

均值滤波器算术均值滤波器几何均值滤波器谐波均值滤波器对于“盐”噪声效果更好善于处理像高斯噪声逆谐波均值滤波器Q >0消除“胡椒”Q <0消除“盐”Q=0为算术均值滤波器Q=-1为谐波均值H 的冲激响应输入输出关系线性系统加性均匀性线性、位置不变的退化“冈书”有加性噪声的情况下,线性退化模型H 是位置不变的模型估计法－由于退化模型可解决图像复原问题,因此多年来一直在应用。

在某些情况下,模型要把引起退化的环境因素考虑在内。

例如,基于大气湍流的物理特性的退化模型。

模型化的另一个主要方法是从基本原理开始推导一个数学模型。

如均匀线性运动模糊。

1 图像观察估计法－观察包含简单结构的强信号区一小部分图像,像某一物体和背景的一部分g s (x,y) ，构建一个不模糊的图像(x,y) ，假定噪声效果可忽略。

2试验估计法－使用与获取退化图像的设备相似的装置,理论上得到一个准确的退化估计。

如利用相同的系统设置,由成像一个脉冲(小亮点)得到退化的冲激响应。

估计退化函数“冈书”许多退化类型可近似表示为线性的位置不变过程。

这一方法的优点在于广泛的线性系统理论工具对于解决图像复原问题很实用。

非线性的与位置有关的技术,虽然更加普遍(通常会更加精确),但是它们会带来很多困难,常常没有解,或者解决计算问题时非常困难。

(a)可忽略的湍流,(b)剧烈湍流,k=0.0025,(c)中等湍流,k=0.001,(d)轻微湍流,k=0.00025。

模型估计法（例－大气湍流模型）“冈书”试验估计法－－如利用相同的系统设置,由成像一个脉冲(小亮点)得到退化的冲激响应G(u,v)。

脉冲的傅立叶变换为常数,A 为表示冲激强度常数系统辨识: 确定系统传递函数(参考K.R.Casteleman书）通过测试靶进行系统辨识点源测试靶正弦波测试靶线测试靶边缘测试靶频率扫描测试靶不需要对输出进行变换来计算传递函数输入非相关白噪声图像辨识系统根据退化的图像本身来确定退化PSF:点源线边缘由退化图像频谱确定OTF取大气湍流模型因为N(u,v)是一个随机函数,而它的傅里叶变换未知。

即使知道退化函数,也不能准确地复原未退化的图像。

还有更糟的情况。

如果退化H(u,v)是零或非常小的值,N(u,v)／H(u,v)会放大噪声影响。

通常用恢复转移函数M(u,v) 5.3.1逆滤波用式<5.7.1)复原图.25(b).<a)用全滤波的结果,(b)半径w 0为40时截止H 的结果,(c)半径w 0为70时的结果,(d)半径w0为85时的结果5.3 无约束恢复可以解析地得到。

如匀速直线运动造成的模糊。

设有沿x 方向的运动，即xo(t)=ct ／T5.3.2 消除匀速直线运动模糊从模糊点源获得转移函数进行图象恢复当n 为整数时，H 在u = n ／c 处为零。

无约束恢复-例对x 求导设L =K c ，K 为整数m 为x ／c 的整数部分。

这里g'(x)是已知的，所以要求得到f(x)就只需估计p(x)5.3.6式5.3.7式低通滤波模拟退化图像(5.3.16)定义从模糊图象直接估计p(x)上式右边第1项为未知，但当K 很大时接近f(·)的均值。

设它为1个常数A 消除匀速直线运动模糊当x 从0变到L 时，m 从0变到K-1。

这样p 在f(x)的自变量从0取到L 时重复K 次。

现在对每个kc≤x<(k+1)c计算式(5.3.17)，并将k=0，1，…，K-1的结果加起来得到1／8，即32个象素。

图(b)为取移动距离为32而得到的结果，图象得到了较好的恢复。

图(c)和图(d)分别为取移动距离为24和40而得到的结果，由于对运动速度估计得不准，所以恢复效果均不好。

消除匀速直线运动模糊－例(5.8.1)中误差函数的最小值在频域的解。

这个结果就是众所周知的维纳滤波。

通常还叫做最小均方滤波器,或最小二乘方误差滤波器。

讨论综合了退化函数和噪声统计特征两个方面进行复原处理的方法。

误差度量式－5.4.1 维纳滤波-维纳滤波的方法是一种统计方法。

它用的最优准则基于图象和噪声各自的相关矩阵，所以由此得到的结果只是在平均意义上最优。

5.4 有约束恢复设R f 和R n 分别是f和n 的相关矩阵当处理白噪声时,谱|N(u,v)|2是一个常数,大大简化了处理过程。

未退化图像的功率谱很少是已知的。

当这些值未知或不能估计时,经常使用的方法是用下面的表达式近似：a)图5.25(b)（剧烈湍流,k=0.0025）的全逆滤波结果,(b)半径受限的逆滤波结果,(c)维纳滤波的结果逆滤波和维纳滤波的比较(1)如果s ＝1，方括号中的项就是维纳滤波器；(2)如果。

是变量，就称为参数维纳滤波器；(3)当没有噪声时，Sn(u,v)=0，维纳滤波器退化成5.3.1小节的理想逆滤波器由式(5.2.40)－通式5.4.1(b)所示1列图为用逆滤波方法分别进行恢复得到的结果。

图5.4.1(c)所示1列图为用维纳滤波方法分别进行恢复得到的结果。

逆滤波和维纳滤波的比较卷积产生模糊，再迭加零均值，方差分别为8，16和32的高斯随机噪声象得到最优结果。

维纳滤波存在的困难是未退化图像和噪声的功率谱必须是已知的。

本节讨论的方法只要求噪声方差和均值的知识。

这些参数经常能从一个给定的退化图像计算出来。

最小的准则函数C,定义：f(x,y)在(x,y)处的二阶微分可用下式近似：最小化某些二阶微分的函数。

5 .4.2有约束最小二乘方恢复算子最优准则将p(x,y)扩展要求满足以下约束：最优解需要调节s以满足约束式(5.4.18)，式(5.4.21)才能达到最优。

s的估计方法是有约束最小二乘方恢复残差矢量r调节s以满足a是1个准确度系数。

如果，‖r‖2=‖n‖2,则约束式(5.4.18)严格满足。

找s 的方法是：(1)赋给s某个初始值；(2)计算和‖r‖2；(3)如果满足式(5.4.23)，停止计算；否则就增加s(如果‖r‖2<‖n‖2-a)或减少s(如果‖r‖2>‖n‖2+a)，然后返回(2)。

可以证明║r║2能用噪声的均值和方差表示有约束最小平方恢复过程总结如下：(1)选1个初始值赋给s，用式(5.4.24)算得║n║2的估计；(2)利用式(5.4.21)计算F(u,v)，再求其反傅里叶变换得到；(3)根据式(5.4.22)组成残差矢量r，计算q(s)=║r║2；(4)如果║r║2<║n║2-a，就增加s，如果║r║2>║n║2+a，则减少s；(5)如果式(5.4.23)不满足，返回(2)；否则停止，此时就是恢复了的图象,我们发现前者对于高、中噪声情况下的处理稍有优势,而在低噪条件下两者差不多。

当人为地选择参数以取得更好的视觉结果时,约束最小二乘方滤波器有可能要比维纳滤波器更好。

(a)为以散焦半径R=3的滤波器对第1章图1.1.1(b)进行模糊得到的图象，图(b)是用维纳滤波对图(a)恢复的结果，图(c)是用有约束最小平方滤波对图(ay 恢复的结果。