图像复原实际上就是已知g(x,y)从上式求f(x,y)的问题， 或者是已知G(u,v)求F(u,v)的问题，这两种表述是等价 的。进行图像复原的关键问题是寻求降质系统在空间 域上冲激响应函数h(x,y)，或者降质系统在频率域上的 传递函数H(u,v)。 一般来说传递函数比较容易求得。因此一般先设法求 得完全的或近似的降质系统传递函数，要想得到h(x,y) 只需对H(u,v)求傅立叶反变换即可。
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
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图像降质的数学模型
图像退化除了成像系统本身的因素之外，还要受到噪 声的污染，并假定噪声 n(x,y)是加性白噪声，这时上式 可写成： g ( x, y) f ( x, y) h( x, y) n( x, y) 在频率域上，上式可以写成：
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第七讲 图像重建
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图像重建
图像重建的应用 图像重建技术在许多科学领域的广泛应用，极大 地增强了人们观察物体内部结构的能力：
—— 计算机断层扫描 (CT) 、核磁共振 (MRI) 等已广 泛应用于疾病的诊断和临床医学中。
10பைடு நூலகம்
图像降质的数学模型
例：匀速直线运动模糊 运动模糊是相机和被摄物体之间相对运动（包括旋 转运动、平移等）引起的图像的退化。
下面以匀速直线运动为例，分析其运动模糊的消除。
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图像降质的数学模型
假设对平面匀速运动的景物采集一幅图像，并设 x0(t)和 y0(t)分别是景物在 x和y方向的运动分量，T是采 集时间长度。忽略其它影响因素，实际采集到的由于 运动造成的模糊图像g(x,y)为：
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6.1 图像降质的数学模型
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图像降质的数学模型
图像复原处理的关键问题：建立退化模型。 输入图像f(x,y)经过某个退化系统后的输出是一幅退 化的图像。不管是成像过程还是变换过程所引起的退 化在本质上都是经过了一个退化系统之后的输出。 为了讨论方便，把噪声引起的退化即噪声对图像的 影响作为加性噪声来考虑是比较有效的，这也与许多 实际应用情况相一致。即使不是加性噪声而是乘性噪 声，也可以用对数方式转化为相加形式。这样把噪声 引起的退化单独考虑时，可以简化图像退化模型。
图像复原
目的：尽可能地减少或去除在获取数字图像过程中 发生的图像质量的下降 (退化)，恢复被退化图像的 本来面目。 图像复原与图像增强的不同点：利用退化过程的先 验知识使已退化的图像恢复本来面目。从图像质量 的评价角度来看，是提高图像的逼真度。
——弄清退化的原因，分析引起退化的环境因素， 建立相应的数学模型，并沿着使图像降质的逆过程 恢复图像。
G(u, v) F (u, v) H (u, v) N (u, v)
H(u,v)称为系统在频率域上的传递函数。
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图像降质的数学模型
因此连续函数的退化模型为：
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y) n( x, y)
G(u, v) F (u, v) H (u, v) N (u, v)
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图像降质的数学模型
图像退化和图像复原的模型：
h( x, y)
f ( x, y )
( x, y )
g ( x, y ) n ( x, y ) ˆ ( x, y ) f
图像 f(x,y)经过退化系统 h(x,y)之后的输出，并叠加 上噪声n(x,y)构成了退化的图像g(x,y)。退化的图像与 复原滤波器w(x,y)卷积得到复原的图像 fˆ ( x, y ) 。
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图像降质的数学模型
噪声 n (x, y ) 是一种统计性质的信息。在实际应用中， 往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，并 且与图像不相关。这种假设是一种理想情况，因为白 噪声的概念是一个数学上的抽象，但只要在噪声带宽 比图像带宽大得多的情况下，此假设仍是一个切实可 行和方便的模型。
因此，根据图像的退化模型及复原的基本过程可见， 复原处理的关键在于对退化系统h(x,y)的了解。
T 0
F (u, v) exp{ j 2 [ux0 (t ) vy0 (t )]}dt
H (u, v)
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图像降质的数学模型
则可以得到下式：
G(u, v) H (u, v) F (u, v)
因此，如果知道了运动分量 x0 ( t )和 y0 ( t )，就可以求 得传递函数 H(u , v)，因此可以从降质图像 g(x , y)复原出 原图像f(x,y)。
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图像复原
对于图像的复原，一般可以采用两种方法： 第一种方法——适用于对图像缺乏先验知识的情况下 的复原：对退化过程(模糊和噪声)建立数学模型，进 行描述，并进而寻找一种去除或削弱其影响的过程。 第二种方法——事先已经知道是哪些退化因素引起的 图像降质，并对原始图像有比较足够的了解：对原始 图像的退化过程建立一个数学模型，并根据它对图像 退化的影响进行拟和。
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图像降质的数学模型
连续图像退化的数学模型：
h( x, y)
f ( x, y )
( x, y )
g ( x, y ) n ( x, y ) ˆ ( x, y ) f
在不考虑噪声的一般情况下，连续图像经过退化系 统H后的输出为： g ( x, y) H [ f ( x, y)] 系统的输出是输入信号与该系统冲激响应的卷积：
g ( x, y) f [ x x0 (t ), y y0 (t )]dt
0 T
它的傅立叶变换为：
G (u, v)
0


g ( x, y ) exp[ j 2 (ux vy)]dxdy
T
f [ x x (t ), y y (t )] exp[ j 2 (ux vy)]dxdy dt 0 0
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图像复原
在具体应用时成像过程的每个环节都可能引起退化。 其中最为典型的图像退化表现有： 光学系统的像差、 光学成像系统的衍射、 成像系统的非线性畸变、 摄影胶片感光的非线性、
成像过程的相对运动、 大气的湍流效应、
环境随机噪声 由于引起退化的因素众多而且性质不同，因此图 像复原的方法、技术也各不相同。