利用函数性质与图像比较大小一、基础知识：（一）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：()()'0f x f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减 （2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。

所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。

在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。

两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。

在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。

抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小 三、例题精析：例1：对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()'20xf x -≤，则必有（ ） A.()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +≤ C. ()()()1322f f f +> D. ()()()1322f f f +≥ 思路：由()'20x f x -≤可按各项符号判断出()2x -与()'f x 异号，即2x <时，()'0f x <,2x >时，()'0f x > ()f x ∴在(),2-∞单调递减，在()2,+∞上单调递增 ()()min 2f x f ∴=，进而()()()()12,32f f f f >> ∴()()()1322f f f +> 答案：C小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。

这样做可以简化表达式的运算。

例2： 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，若()()11,22,ln 2ln 222a f b f c f ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A. b a c >>B. a c b >>C. c b a >>D. b c a >> 思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的,,a b c 的结构均为()xf x 的形式，故与不等式找到联系。

当0x >时，()()''0()()0f x f x xf x f x x+>⇒+>，即()()'0xf x >，令()()g x xf x =，由此可得()g x 在()0,+∞上单调递增。

()f x 为奇函数，可判定出()g x 为偶函数，关于y 轴对称。

()()1,2,ln 22a g b g c g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，作图观察距离y 轴近的函数值小，ln 2 与12可作差比较大小：()1114ln 22ln 21ln 0222e-=-=> 进而可得：b c a >> 答案：D例3：函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()'1()0x f x -<，设1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D.c a b >>思路：由()(2)f x f x =-可判断出()f x 关于1x =轴对称，再由()'1()0x f x -<，可得1x <时，()'0f x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，由轴对称的特点可知：()f x 在()1,+∞单调递减。

作出草图可得：距离1x =越近的点，函数值越大。

所以只需比较自变量距离1x =的远近即可判断出b a c >> 答案：B例4：已知()f x 是周期为2的偶函数，且在区间[]0,1上是增函数，则()()()5.5,1,0f f f --的大小关系是（ ）A. ()()()5.501f f f -<<-B. ()()()1 5.50f f f -<-<C. ()()()0 5.51f f f <-<-D. ()()()10 5.5f f f -<<-思路：()f x 的周期为2，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：()()5.50.5f f -=，而由()f x 偶函数及[]0,1单调递增，作图可知在区间[]1,1-中，距离y 轴近的函数值小，所以有()()()()00.5 5.51f f f f <=-<-答案：C小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。

从而代替原来的自变量。

例5：已知函数()1f x +为偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()sin f x x x =-，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()3,0b f c f ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C.b c a <<D.b ac <<思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析()f x 的性质，由()1f x +为偶函数可得：()()11f x f x -+=+，从而()f x 关于1x =轴对称，当()1,x ∈+∞，可计算()'cos 10f x x =-≤，所以()f x 在()1,+∞单调递减，结合对称性可得距离对称轴1x =越近，函数值越大，所以()()1302f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭答案：D小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对()sin f x x x =-的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。

所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。

例6：已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,+∞上是增函数，令2sin7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，55cos ,tan 77b f c f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 大小关系为________ 思路：由()f x 为偶函数且在()0,+∞单调递增可得距离y 轴越近，函数值越小。

所以需比较,,a b c 自变量与y 轴距离：522522cos=cos =cos ,tan =tan =tan 777777ππππππ，则需比较222sin ,cos ,tan 777πππ的大小，因为274ππ>，所以222tan 1sin cos777πππ>>>，所以c a b >> 答案：c a b >>小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。

在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现,,a b c 涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是利用好“桥梁”，比较的关键之处在与4π这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与1大小的分界线，而正余弦不大于1，所以27π的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界线，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα<；而,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα>。

例7：已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c a b c >> B.()()()f c f b f a c b a>>C. ()()()f b f a f c bac>> D.()()()f a f c f b acb>>思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小。

换一个角度，可发现()f x 的图像可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率。

所以作出()f x 的图像，可观察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例8：已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若()f x 满足：()()()'10,x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是 （ ） A ．()()10f f < B ．()()20f ef > C ．()()330f e f > D ．()()340f e f <思路：联系选项分析条件()()()'10x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦：当1x >时，()()'0f x f x ->，()()'20x x x e f x e f x e ->即()'0x f x e ⎛⎫> ⎪⎝⎭令()()xf x F x e = ()F x ∴在()1,+∞单调递增，而选项中()()1,0f f 均不在单增区间中，考虑利用()()222x f x f x e --=进行转换。