南宁三中2020~2021学年度上学期高二月考（三）文科数学试题一、单选题，共12题，每题5分，共60分。

请把答案填涂到答题卡相应位置。

1．已知集合()22,194x y A x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，(){},B x y y x ==，则A B 中有几个元素（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110091x y +=B ．2100y 2191x +=C ．2212516y x +=D ．2212516x y +=3．“2πϕ=”是“cos 0ϕ=”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球C ．恰有一个红球与恰有二个红球D ．至少有一个红球与至少有一个白球5．若曲线22x y 12k 2k+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．k 2>B ．k 2<-C ．2k 2-<<D ．2k 0-<<或0k 2<<6．若点P 在椭圆2212x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且1290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A ．12B 3C ．1D ．27．某种饮料每箱6听，其中2听不合格，随机从中抽出2听，检测到不合格的概率为（ ）A ．25B ．35C ．815D ．1158．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22143y x +=上的一个动点，点(1,1),(0,1)A B -，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．59．在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆面积大于4S的概率为（ ）A ．14B ．34C ．49D ．91610．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．12D 12．已知点(),P x y 是椭圆22194x y +=上任意一点，则点P 到直线l :5y x =+的最大距离为（ ）A ．2B ．2C ．D ．二、填空题，共4题，每题5分，共20分。

请在答题卡相应位置上作答。

13．点M (x ，y)6+=，点M 的轨迹方程为__________.14．如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中m 的值为________．15．椭圆221mx ny ＋＝与直线1y x -＝交于M N ，两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为2，则m n的值是________． 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]64ππα∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．三、解答题，共6题，共70分。

请在答题卡相应位置上作答，应写出必要的解题过程。

17．（本题满分10分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85． （1）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率．18．（本题满分12分）在ABC ∆中，222sin A sin C sin B 2sinAsinC +=+. （I ）求B ∠的大小；（II 2cos A C +的最大值．19．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122,8a a ==，()11452n n n S S S n +-+=≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()12og 1l n n n b a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T 。

20. （本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为42()0,1H 。

（1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过点()0,1H 的直线2y x t =+与椭圆C 相交于两点,M N ,若直线HM 与HN 的斜率之和为1,求实数t 的值.21．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥ 平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.22．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且2MNF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线m 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2PQF ∆面积的最大值.南宁三中2020~2021学年度上学期高二月考（三）文科数学试题答案1．B 由题,联立22194x y y x +==⎧⎪⎨⎪⎩,消去y 得213360x -=,则413360∆=⨯⨯>,即椭圆22194x y +=与直线y x =有两个交点,所以A B 中有2个元素,故选:B 2．C 因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为2212516y x += ，故选C3．A 当cos 0ϕ=时，2k πϕπ=+，故“2πϕ=”是“cos 0ϕ=”的充分不必要条件．4．C 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.5．D 由题设可得202022k k k k ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得22,0k k -<<≠，故选D ．6．C 设12,PF m PF n ==，利用椭圆的定义和勾股定理有：22222244m n a m n c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，则：222122()()4,mn m n m n F PF =+-+=∆的面积112S mn ==.本题选择C 选项.7．B 设6听饮料中的2听不合格饮料为a 、b ，其余4听合格饮料为A 、B 、C 、D ，从中任取2听的所有可能事件为：AB 、AC 、AD 、Aa 、Ab 、BC 、BD 、Ba 、Bb 、CD 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、ab 共15种，其中有不合格饮料的所以可能事件为：Aa 、Ab 、Ba 、Bb 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、ab 共9种，则检测到不合格的概率93155P ==，故选：B.8．D ∵椭圆方程为22143y x +=，∴焦点坐标为()0,1B -和()0,1B '，连接PB AB ''、，根据椭圆的定义，得24PB PB a +'==，可得4PB PB =-'，因此PA PB PA +=+(4)4()PB PA PB -'=+-'.441 5.PA PB AB PA PB AB -''∴++'=+=，当且仅当点P 在AB '延长线上时，等号成立.综上所述，可得PA PB +的最大值为5.本题选择D 选项.9．D 记事件{}4SA PBC =∆的面积超过,基本事件是三角形ABC 的面积,(如图)事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积（//DE BC 并且:3:4AD AB =），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的239()416=,所以9()=16P A =阴影部分三角形面积，故选D ．10．B 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝20x ＋x 0＋20y ,∵P 为椭圆上一点，∴204x ＋203y ＝1.∴OP FP ⋅＝20x ＋x 0＋320(1)4x -＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.∵－2≤x 0≤2.∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 11．D 设P 在x 轴上方，P x c =-，代入椭圆方程得2P b y a=,1260,F PF ∠=121F F ∴=222222,20,c ac ac ∴=∴=+-=220e e +-=∴=，故选D 12．A 设直线y x m =+与椭圆相切，由22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2213189360x mx m ++-=，∴22(18)413(936)0m m ∆=-⨯-=，m =y x =y x =-l距离较规远的是y x =-∴所求最大距离为2d ==．故选：A.13．22198x y += M 到(-1，0)与(1,0)的距离之和为6，又(-1，0)，(1,0)两点间的距离为2，所以其轨迹是以(-1，0)，(1,0)为焦点的椭圆，c ＝1，a ＝3，b 2＝8.故点M 的轨迹方程为22198x y +=。

14．3 样本中心点(),x y 过线性回归方程，由表格知3456942x +++==，代入方程可得 3.5y =，则有()12.54 4.54y m =+++，可得3m =．故本题应填3． 15.设()()1122,,,M x y N x y ，则22221122=1,=1mx ny mx ny ++相减化简得12121212y y x x m x x n y y -+=-⋅-+,设()00,P x y ，则00y x ，因为1201202,2,x x x y y y +=+=000022MN m x m x k n y n y ∴=-⋅=-⋅，即1m n -=-m n ∴.161] 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BF ，所以四边形AFBN 为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得2112sin cos )4c e a πααα===++，由[,]64ππα∈，则51242πππα≤+≤，所以11)4πα≤≤+，即椭圆的离心率的取值范围是1]2. 17．（1）∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=．∴5x =．则甲班7位学生成绩的方差为22222221[(6)(7)(5)0711]407s =-+-+-+++=．（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ，乙班成绩在90以上的学生有三名，分别记为,,C D E ．从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ．其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：(,)A B ，(,)D C ，(,)E D ，(,)C E ． 记“甲班、乙班各一人”为事件M ，则43()1105P M =-=， 所以，从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班、乙班各一人的概率为35． 18． （Ⅰ）∵在△ABC 中，由正弦定理可得a 2+c 2=b 2ac ．∴a 2+c 2-b 2ac ，∴cosB=222a c b 2ac 2+-=，又B ()0,π∈∴B=π4 （Ⅱ）由（I ）得：C=3π4-A ，（3π4-A）（A+π4），∵A∈（0，3π4），∴A+π4∈（π4，π），故当A+π4=π2时，sin（A+π4）取最大值1+cosC的最大值为1．19．（1）∵当2n≥时，1145n n nS S S+-+=，∴()114n n n nS S S S+--=-. ∴14n na a+=.∵12a=，28a=，∴214a a=. ∴数列{}n a是以12a=为首项，公比为4的等比数列.∴121242n nna--=⋅=.（2）由（1）得()()()()11121221log1log2121n n nnn nb a n+++-=-=-=--，当2n k=时，()()21243412k kb b k k-+=---=-∴()()()()()21357434122nT n n n n⎡⎤=-+-++---=⨯-=-⎣⎦.20．【详解】（1）C的方程2219xy+=（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立22219y x txy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得2237369(1)0x tx t++-=.由22(36)4379(1)0t∆=-⨯⨯->，可得t<<.又直线y=2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，1t∴≠±，则t<<且1t≠±，212123699,3737t tx x x x-∴+=-=，由()()121212121241114411HM HNx x t x xy y tk kx x x x t+-+--+=+==-=+，解得3t=，t∴的值为3.21. （1）取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，//FQ DC且12FQ CD=，//AE CD且12AE CD=，故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形，所以，//AF EQ ， 又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （2）设点A 到平面PEC 的距离为d .由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= 在PDE ∆中227PE PD DE =+=PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==1225102PEC S ∆=⨯=13132AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=11310233d =，解得30d =. 22． （1）由题意知, 48a =,则2a =,由椭圆离心率12c e a ==,则1c =,23b =, 则椭圆C 的方程22143x y +=.（2）由题意知直线m 的斜率不为0，设直线m 的方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()2243690k y ky ⇒+--= 122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⇒⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()2222121212121222211163612142222343434PQF k k S F F y y F F y y y k k k ∆+⎛⎫=-=+-=⨯+= ⎪+++⎝⎭()2222121212121222211163612142222343434PQF k k S F y y F y y y y k k k ∆+⎛⎫=-=+-=⨯+= ⎪+++⎝⎭)2222122216361214223434k k y y k k +⎛⎫-=⨯+= ⎪++⎝⎭令21k t +=，则1t ≥，所以()22121213143PQF t S t t t∆==-++，知识决定格局，格局影响命运 而13y t t =+在[)1,+∞上单调递增，则13t t +的最小值为4，所以212313PQF S t t∆=≤+， 当1t =时取等号，即当0k =时，2PQF ∆的面积最大值为3.。