3．二次根式的运算： (1)二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)二次根式的乘法： a· b ＝ ab(a≥0，b≥0) ； a (3)二次根式的除法： a ＝ (a≥0，b>0) ． b b 4．最简二次根式： 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式． 最简二次根式，满足两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
ab＝(3＋2 5)(3－2 5 )＝－11， ∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5.
2 2 2－1 2＋1 x －y (3)已知x＝ ，y＝ ，求 2 2 的值； x ＋y 2＋1 2－1
解：∵x＝ 2－1 ＝( 2 －1)2＝3－2 2 ， 2＋1 2＋1 ＝( 2 ＋1)2＝3＋2 2 ， 2－1 ∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1. y＝ 原式＝ x＋yx－y ＝ 6×－4 2 2 2
|6－3m|＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6， ∴m－3＝0且n－5＝0，
∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
答题规范
2．注意二次根式运算中隐含条件 考题再现
a －1 已知：a＝ 1 ，求 － a＋1 2＋ 3
解：原式＝ a＋1a－1 －
a＋1
2
a －2a＋1 的值． 2 a －a
使没有约分的情况，一般来说，只需把积(商)进行一次化简 (因为结果须是最简二次根式)，当然较先化最简二次根式一
k－3>0，
k>3.
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：
a＋b＋c2＋
a－b－c2＋ b－c－a2 ＋ c－a－b2 .
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
3．与二次根式相关的求值问题 条件二次根式的求值，问题往往与整式、分式综合起来， 因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好解题的 方法与过程．通常是将已知式与求值式化简后，再按照求 代数式的方法进行，以简便、准确为目的．
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
3x－6≥0 x≥2， 解析：(1)∵ ∴ 6－3x≥0， x≤2， ∴x＝2，y＝23＝8，
∴± 10x＋2y ＝± 10×2＋2×8 ＝± 36 ＝±6.
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5，
B．±2
C．－2
D. 2
解析： －22＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
10＋3)]
2010
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2010 ＝(10－9)2010＝1
探究提高
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，
计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
6 知能迁移3 (1) － 18－( 1 )0 2 2 解：原式＝3 2 －3 2 －1
2
2
学生作答
a－1
aa－1 ＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 . aa－1 a
∴当a＝
原式＝
1
1 2＋ 3
时，
－1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 .
2＋ 3
规范解答 解：∵a＝
1 2＋ 3
<1，∴a－1<0.
a－1 ＝|a－1|＝1－a.
2
∴ a2－2a＋1＝ ∴原式＝ ∴当a＝
a＋1a－1 a＋1 1
－
1－a aa－1
＝a－1＋
1 a
.
时，
3 )＝3.
2＋ 3 原式＝ 1 －1＋(2＋ 2＋ 3
老师忠告
(1)题目中的隐含条件为a＝
1 2＋ 3
<1，所以 a2－2a＋1＝
2 a－1 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之
3．(2011· 泰安)下列运算正确的是( D ) A. 25 ＝±5 C. 18 ÷ 2 ＝9 解析： 24×
3＝ 2
B．4 3 － 27 ＝1 D.
24×
· 24
3＝ 2
3 ＝6 2
36 ＝6.
4．(2011· 杭州)下列各式中，正确的是( B ) A. －32 ＝－3 B．－ 32＝－3 C. ± 2 ＝±3 3 D.
＝－1
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1； 2 解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值． 解：∵3< 10 <4，
∴ 10 的整数部分a＝3，小数部分b＝ 10 －3. ∴a2－b2＝32－( 10－3)2 ＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10 .
数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到
根号外.
2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式． 3．二次根式乘除结果要化简为最简二次根式．
知能迁移2
(1)(2011· 潍坊)下面计算正确的是( B ) B. 27 ÷ 3 ＝3 D.
A．3＋ 3 ＝3 3 C.
2· 3 ＝ 5
－22＝－2
32＝±3
解析：因为 32＝3，所以－ 32＝－3.
5．(2011· 菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示，则 a－42 ＋ a－112 化简后为( A )
A. 7
C．2a－15
B．－7
D．无法确定
解析：可知5<a<10，所以a－4>0，a－11<0，
原式＝ a－4＋ a－11＝(a－4)＋(11－a)＝7.
x x x 1 1
探究提高
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可. 2.注意到(x－ 1 )2＝(x＋ 1 )2－4，可得(x－ 1 )2＝5， x x x 1 x－ ＝± 5 . x
知能迁移4
(1)若y＝ 3x－6 ＋ 6－3x ＋x3，则10x＋2y的 平方根为________； ±6
题型分类 深度剖析
题型一 二次根式概念与性质
【例1】 (1)等式 2k－1＝ 2k－1 成立，则实数k的范围 k－3 k－3 是( D ) 1 A．k>3或k< B．0<k<3 2 C．k≥ 1 D．k>3 2 1 2k－1≥0， k≥ ， 解析：要使等式成立，必须 有 2 ∴k>3.
3 ＝3； －64＝－4. 9
(2)(2011· 烟台)如果 2a－12 ＝1－2a，则( B ) 1 1 1 1 A．a＜ B. a≤ C．a＞ D. a≥ 2 2 2 2 解析：由1－2a≥0，得a≤
1 2
.
(3)若化简|1－x|－
x2－8x＋16 的结果为2x－5，则x的取
值范围是________． 1≤x≤4 解析：∵|1－x|－ x2－8x＋16 ＝(x－1)－(4－x)＝2x－5， ∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1， 且 x2－8x＋16 ＝4－x≥0，x≤4. ∴1≤x≤4.
3 、 ab(ab≥0)、 x＋3 (x≥－3)都是二合运算 实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混 合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如： 运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减， 如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算 中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公 式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然 适用．
题型四
二次根式运算中的技巧
【例4】 (1)已知x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15. (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， ∴x－ 1 ＝± 5 .
解析： 27 ÷ 3 ＝ 9 ＝3.
(2)如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和 3 ，点B关于 点A的对称点为C，则点C所表示的数为( A )
A．－2－ 3 C．－2＋ 3
B．－1－ 3 D．1＋ 3
解析：∵A、B两点表示的数分别是－1和 3 ， ∴OA＝|－1|＝1，OB＝| 3 |＝ 3 ，AB＝1＋ 3 ＝AC， ∴OC＝AC＋OA＝(1＋ 3 )＋1＝2＋ 3 . ∴点C所表示的数为－(2＋ 3 )＝－2－ 3 ，选A.
第5课 二次根式
及其运算
要点梳理
1．二次根式的概念：
式子 a (a≥0) 叫做二次根式． 2．二次根式的性质：
(1)( a )2＝ a(a≥0) ； a(a≥0) (2) a2＝|a|＝ 0(a＝0) －a(a< 0)
(3) ab ＝ (4)
a · b(a≥0，b≥0) ．
a b
a＝ b
(a≥0，b>0) ．
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
4 5 5
解：原式＝－
× × 45×15
2 2
1
＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 .