并对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间．例如，估算 17在哪两个整数之 间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以
16< 17< 25，即 4< 17<5.
1பைடு நூலகம்“双重非负性”
算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须是非负数，即 a≥0；二是算术平
A. 18
B.
1 3
C. 24
D. 0.3
4．(2016·南充)下列计算正确的是( A )
A. 12＝2 3 B.
32＝
3 2
C. －x3＝x －x D. x2＝x
5．(2016·许昌模拟)已知 x＝ 52－1，y＝ 52＋1，则 x2＋xy＋y2 的值为(B )
A．2 B．4 C．5 D．7
二次根式概念与性质
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】 (1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合
并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)，
ba＝
a(a≥0，b＞0)， b
前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即
③( 10－3)2 016·( 10＋3)2 017. (3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值． 解：原式＝( 10－3)2 016×( 10＋3)2 016×( 10＋3)＝[( 10－3)( 10＋3)]2 016×( 10＋3) ＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
方根 a的值是非负数，即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面： (1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙
求解； (2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零． 2．求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2 C．( 5)－1＝ 5 D．( 3－1)2＝2
(2)(2016·平顶山模拟)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①
1；③ ab÷ ba＝－b.其中正确的是( B)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
ba＝
a；② b
a b·
ba＝
(3)计算： 24－ 32＋ 23－2 16； (4)计算： 48÷ 3－ 12× 12＋ 24 解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6
1．二次根式的概念 式子____________叫做二次根式． 2．二次根式的性质
(1) a(a≥0)是一个___非___负___数_． (2)( a)2＝__a__(_a_≥__0_)．
a(a＞0) (3) a2＝|a|＝ 0(a＝0)
－a(a＜0)
3．二次根式的运算 (1)二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)二次根式的乘法： a· b＝_________________；
【例 1】 (1)下列各式中
2，3 5，－ 3， －7， x2＋1，一定是二次根式的有( B)
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5
(2)(2017·中考预测)等式
2k－1＝ k－3
2kk－－31成立，则实数 k 的范围是( D)
A．k＞3 或 k＜12 B．0＜k＜3
C．k≥12 D．k＞3
(3)(2016·南阳模拟)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－c－a）2＋ （c－a－b）2.
[对应训练]
1．(1)如果 （2a－1）2＝1－2a，则( B)
A．a<12 B．a≤12 C．a>12 D．a≥12
(2)(2016·自贡)若代数式 xx－1有意义，则 x 的取值范围是__x_≥__1__． (3)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为__5__．
二次根式的运算
【例 2】 (1)(2015·宁夏)下列计算正确的是( B)
(3)二次根式乘法的反用： ab＝__________________；
(4)二次根式的除法： a＝___________________； b
(5)二次根式除法的反用： ba＝_______________________．
4．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 5．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－ b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a ＋【点2评b】＋2(1c)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于 0；(2)注意二次根
式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
可将其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式；(4)二次根式乘除结果 要化为最简二次根式．
2．(1)(2016·包头)计算：6 13－( 3＋1)2＝__-_4_；
(2)计算： ① 24× 13－4× 18×(1－ 2)0； ②(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；
解：原式＝2 6× 33－4× 42×1＝2 2－ 2＝ 2 解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2
1．(2016·贵港)式子
1 在实数范围内有意义，则 x－1
x
的取值范围是(
C)
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
2．(2016·潍坊)实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋ （a－b）2的结果
是( A)
A．－2a＋b B．2a－b C．－b D．b
3．(2016·巴中)下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( B)
解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3.∴a2－b2＝32－( 10－ 3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
二次根式运算中的技巧