极限平衡法在边坡稳定性分析中的应用摘要从瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法的基本原理出发，对比三者的不同假设，从得出的安全系数数据分析得出结论：三种方法中，毕肖普法得出的稳定性系数最大，瑞典条分法得出的稳定性系数居中，瑞典圆弧法迁出的稳定性系数最小。

关键词瑞典圆弧法瑞典条分法毕肖普法稳定性系数1 概述由于边坡内部复杂的结构和岩石物质的不同，使得我们必须采用不同的分析方法来分析其稳定状态。

因此边坡是否处于稳定状态，是否需要进行加固与治理的判断依据来源于边坡的稳定性分析数据。

目前用于边坡稳定分析的方法有很多，但大体上有两种——极限平衡法和数值法。

数值法有离散元法、边界元法、有限元法等；极限平衡法有瑞典圆弧法、毕肖普法、陆军工程师团法、萨尔玛法和摩根斯坦—普莱斯法等。

极限平衡法依据的是边坡上的滑体或滑体分块的力学平衡原理(即静力平衡原理)来分析边坡在各种破坏模式下的受力状态，以及边坡滑体上的抗滑力和下滑力之间的关系来对边坡的稳定性进行评价的计算方法。

由于它概念清晰，容易理解和掌握,且分析后能直接给出反映边坡稳定性的安全系数值，因此极限平衡法是边坡稳定性分析计算中主要的方法，也是在工程实践中应用最多的方法之一。

其中瑞典圆弧法（简称瑞典法或费伦纽斯法）亦称Fellenious法，是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法。

这一方法由于引入过多的简化条件和考虑因素的限制 , 它只适用于φ＝ 0 的情况。

虽然求出的稳定系数偏低 10 % ～20 %。

，但却构成了近代土坡稳定分析条分法的雏形。

而在费伦纽斯之后，许多学者都对条分法进行了改良，产生了许多新的计算方法，使计算的方法日趋完善。

在瑞典圆弧法分析粘性边坡稳定性的基础上，瑞典学者Fellenius 提出了圆弧条分析法，也称瑞典条分法。

Fellenius将土条两侧的条间力的合力近似的看成大小相等、方向相反、作用在同一作用面上，因此提出了不计条间力影响的假设条件。

而每一土条两侧的条间力实际上是不平衡的，但经验表明，在边坡稳定性分析中，当土条宽度不大时，忽略条间力的作用对计算结果并没有显著的影响，而且此法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即偏于安全，所以目前的工程建设上仍然常用这种方法。

1955年，毕肖普(Bishop)在瑞典法基础上提出了——毕肖普法。

这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆弧形和通过力矩平衡条件求解的特点，与瑞典条分法相比，毕肖普法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力多边形闭合条件，就是说虽然在公式中水平作用力并未出现，但实际上条块间隐含的有水平力的作用。

毕肖普法由于考虑到了条块间水平力的作用，因此得到的安全系数较瑞典条分法略高一些。

各种计算方法的出发点基本上都是假定土体是理想塑性材料，不考虑土体本身的应力-应变关系，将土体作为刚体按极限平衡的原则进行受力分析。

本文就极限平衡法中应用较广的瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法在边坡稳定分析中的应用进行比较，得出毕肖普法的稳定性系数更高的结论。

2 瑞典圆弧法、毕肖普法和瑞典条分法的基本理论 2．1 瑞典法 2．1．1 滑面的形状瑞典法使用圆弧滑裂面。

2．1．2 对多余未知力的假定该法不考虑土条两侧的作用力，不满足每一土条的力及力矩的平衡，仅满足整体力矩的平衡。

∑∑=)()(生的滑动力矩第一土条在滑裂面上产抗滑力矩每一土条在滑裂面上的Fs （1）式中F s 表示稳定性系数。

Pi 及 Pi + 1是作用于土条两侧的条间力合力。

由摩尔—库伦准则 , 滑裂面上的平均抗剪强度为：'tg )('φστu c f-+= （2）式中 c ′ 为有效内聚力；φ′ 为有效内摩擦角； u 为孔隙压力。

土底切向阻力 T i 为：si F 'tg )('φττi i si i i sfi i l u Ni F l c l F l T -+=== （3）取土底法向力平衡，得：N i = W i cos αi （4）因为i sin αR x i =，得： ()[]∑∑-+=iiiii ii iii s W tg l u l W l c F αφαsin 'cos ' （5）2．2 毕肖普法 2．2．1 原理毕肖普法提出的土坡稳定系数的含义是整个滑动面上土的抗剪强度tf 与实际产生剪应力T 的比，即K ＝tf/t ，并考虑了各土条侧面间存在着作用力，其原理与方法如下：假定滑动面是以圆心为O ，半径为R 的滑弧，从中任取一土条i 为分离体，其分离体的周边作用力为：土条重Wi 引起的切向力Ti 和法向反力Ni ，并分别作用于底面中心处；土条侧面作用法向力Ei 、Ei +1和切向力Xi 、Xi +1。

根据静力平衡条件和极限平衡状态时各土条力对滑动圆心的力矩之和为零等，可得毕肖普法求土坡稳定系数的普遍公式。

毕肖普忽略了条间切向力，即Xi+1－Xi ＝0，这样就得到了国内外广泛使用的毕肖普简化式。

由于推导中只忽略了条间切向力，比瑞典条分法更为合理，与更精确的方法相比，可能低估安全系数(2～7)％。

所以它的特点是：(1)满足整体力矩平衡条件；(2)满足各条块力的多边形闭合条件，但不满足条块的力矩平衡条件；(3)假设条块间作用力只有法向力没有切向力；(4)满足极限平衡条件。

2．2．2 滑面的形状毕肖普简化法使用圆弧滑裂面。

2．2．3 对多余未知力的假定该法考虑了土条两侧条间力的作用，满足整体力矩及每一土条的垂直力的平衡，但不满足每一土条的水平力平衡。

ττf s F =（6）取每一土条竖直方向力的平衡 , 得：N i cos αi = W i + X i – X i+1 – T i sin α i （7）式中 X i 和 X i + 1为土条条间力竖向分力。

由摩尔—库伦准则及式 Ti , 求得土底总法向力为：aii i i 11sin 'tg sin ')(m F l u F l c X X W N s i i s i i i i i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=+αφα （8） 式中 sii F m αφαs i n 'tg cos i ai +=考虑到各土条对滑裂面圆心的力矩之和应当为零 , 有：()[]{}∑∑∑+-+-+=+Re QWX X b u Wb c m F iii ii i i i iiis αφsin 'tg '1i 1ai（9）同时，毕肖普法假定条间力的合力是水平的，则可简化成：()[]∑∑∑+-+=Re QWb u Wb c m F iiii i iiis i i aisin 'tg '1αφ （10）2．3 瑞典条分法瑞典条分法适用于圆弧形破坏滑动面的边坡稳定性分析。

该条分法将滑动土体竖直分成若干个土条，把土条看成是刚体，分别求出作用于各个土条上的力对圆心的滑动力矩，然后由滑动力矩抗滑力矩=s F 得出土坡的稳定安全系数。

2．3．1 滑面的形状瑞典条分法使用圆弧滑裂面。

2．3．2 对多余未知力的假定不考虑条块间的相互作用。

2．3．3 力学分析滑体任一条块上的作用力有：条块自重i i i i h b W γ=；滑面上的抗剪力Ti 和法向力 N i 。

根据土条 i 的静力平衡条件有：i cos αi i W N = (11)设安全系数为 Fs ，根据库伦强度理论有：si i i fi si F N l c T F T itan 1ϕ+=⨯=(12)整个滑动土体对圆心 O 取力矩平衡得：()∑=-⨯0sin i i i i iR T R Wα (13)将式 式(11) 代入 式(12)后再将式 (12) 代入式 (13) 得如下瑞典条分法计算公式：()∑∑+=isin tan cos αϕαiii i ii s WW lc F (14)当已知土条 i 在滑动面上的孔隙水应力μi 时，瑞典条分法的公式（14）可改写为如下有效应力进行分析的公式：()[]∑∑-+=ii i sin 'tan cos αϕαμii i i ii s Wb W lc F (15)3 工程实例有一1：2的均质坡面，内摩擦角φ=35°，内聚力c =2N ，容重γ=1.75，饱和容重γm =1.9，取土条数为20，孔压系数μ分别为0、0.2、0.4、0.6，由瑞典法、条分法和毕肖普法试算稳定性系数。

3．1 计算结果瑞典法、条分法和毕肖普法计算安全系数结果表3．2 结果分析在计算结果中，毕肖普法计算结果总大于条分法，而条分法总大于瑞典法，反映到H 因子式中，即()∑>-+01i i i tg E E α。

①在相同的中心角条件下随着孔压的增大三者差异增大。

②在相同的孔压条件下随着中心角的增大三者差异也增大。

③在相同的孔压条件下，随着中心角的增大瑞典法总体上逐渐减小，条分法和毕肖普法则逐渐增大。

④在相同孔压条件下，中心角的改变对瑞典法的影响较毕肖普法大。

在相同的中心角条件下，孔压的改变对瑞典法的影响也较毕肖普法大。

4 结论通过工程实例的数据计算得出的安全系数数据可以看出，瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法这三种方法中，毕肖普法的稳定性系数是三者中最高的，而瑞典圆弧法的稳定性系数最低，瑞典条分法居中。

参考文献：[1] 胡辉、姚磊华、董梅，《瑞典圆弧法和毕肖普法评价边坡稳定性的比较》，《路基工程》，2007年第6期，110-112页。

[2]张朋举，《城子水库大坝坝坡稳定性分析》，《华北水利水电学院毕业论文》，第10页。