三维例子： 正点阵为简 单点阵，倒 易点阵也是 简单点阵。
正格子空间中长 的基矢a3对应于 倒格子空间短的 基矢b3，反之亦 然。推广，正格 子空间长的线条 对应于倒格子空 间短的线条。
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵， 但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子 为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
倒易点阵仍是简立方点阵：
2π r 2π r 2π r b1 = i , b2 = j , b3 = k, a a a
所以倒格子也是布拉菲格子。 六角点阵： 六角点阵的倒易点阵： 见Ashcroft p88 c 轴方向不变，a 轴在垂直于c 轴的 平面上旋转30度。
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结 构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了 一个角度。
现在定义 3个新的基矢 r r r b1 , b2 , b3构成一个新点阵： （ h,k,l 是整数。） 位移矢量
v v v a 2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ (a2 × a3 ) v v v a3 × a1 b2 = 2π v v v a1 ⋅ (a 2 × a3 ) v v v a1 × a 2 b3 = 2π v v v a1 ⋅ (a2 × a3 )
1.4 倒易点阵和布里渊区
(Reciprocal lattice; Brillouin zones)
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义 四. 倒易点阵实例 五. 布里渊区
参考：黄昆书 1.3 节；p175-179; Kittel 8版 2.3 节
r r r 一. 定义：假设 a1 , a 2 , a 3 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的 u r r r r r r r 格矢为：R n = n1 a1 + n1 a 2 + n1 a 3 原胞体积是： Ω = a1 g( a 2 × a 3 )
见黄昆书图4－13 （p179)
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因 此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的 第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的 布拉菲点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、 晶胞中的原子数目无关。 布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应 的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区 里依然可以划分为几个完全等同的区域。 对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同 样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布 里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。
r b2
r a2 r a1 r b1
左图是一个二维斜方点阵和它的
r r r r 倒易点阵， b1 ⊥ a 2 , b 2 ⊥ a1 ,
r r r ur b 2 ga 2 = a 1 gb1 = 2π r r r r b1 ga 2 = b2 ga1 = 0
简立方点阵： r r r a1 = ai, a2 = a j, a3 = ak
ur r r r G hkl = hb1 + kb2 + lb3
就构成上面点阵的
倒易点阵，上面变换公式中出现的 2π 因子，对于晶体学 家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。 2. 证明：
= 2π (n1h + n2 k + n3l ) = 2π m
u r ur r r r r r r R n gG hkl = (n1 a1 + n1 a 2 + n1 a 3 )g(hb1 + kb 2 + lb3 )
（m 为整数）
六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
Kittel
（p28)
黄昆书图4－12（p179)
见黄昆书图4－12 （p179)
体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
Kittel （p29）,黄昆书图4－13（p179)
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的， 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系： v v b i ⋅ a j = 2 πδ ij 1. 两个点阵的基矢之间： 1, i = j δ ij = 0, i ≠ j
ur u r 2. 两个点阵的格矢之积是 2π 的整数倍： G h g R n = 2π m
ur r r r 4. 证明：先证明倒格矢 G h1 ,h2 ,h3 = h1 a1 + h2 a 2 + h3 a 3
与正格子的晶面系 ( h1h2 h3 ) 正交。 如图所示，晶面系 ( h1h2 h3 ) 中最靠近原点的晶面（ABC） r r r r r r 在正格子基矢 a1 , a 2 , a 3 的截距分别为： a1 , a 2 , a 3 h1 h2 h3
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
4.
3 r r r (2 π ) Ω * = b1 g ( b 2 × b 3 ) = Ω ur 正点阵晶面族 ( h,k,l) 与倒易点阵格矢 G hkl 相互垂直，
ur r r r G hkl = hb1 + kb2 + lb3
且有：
d hkl
2π = ur G hkl
1.5 晶体结构的实验研究
一. 晶体中的衍射现象 二. 晶体衍射的几何理论 三. 实验方法简介 四. 影响衍射强度的因素 五. 研究实例 六. 电子衍射和中子衍射 七. 原子结构的直接观察： 参考 Kittel 8版 2.1 2.2 2.4 节
一. 晶体中的衍射现象：
虽然点群和空间群理论以及晶体点阵学说都是19世纪提出 的，但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得以从 实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。普通光学显微镜受分 辨率的限制，无法观测原子排列，使用X光源，至今又没有可以 使X光聚焦的透镜，所以只能依靠衍射现象来间接观测晶体中的 原子排列。1982年扫描电子显微镜发明以来，直接观察晶体中 的原子排列已成为可能，但又由于物质对电子的强烈吸收作用， 目前也只能用于观察晶体表面原子的分布，所以至今为止，晶体 内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。 目前常使用的方法，除去X射线衍射外，还有中子衍射和电 子衍射，三种方法原理相同，但各有所长，经常互相配合使用。 晶体衍射现象的重要性可以从多次获得Nobel物理学奖说明： 1914 Laue;1915 Bragg父子；1937 Davisson;1986 Binnig和 Rohrer;1994 Brockhouse和Shull.
ur uuu r G h1h2h3 2π = OAg ur = ur G h1h2h3 G h1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
上述第4点的图示。见Blakemore p70
r r r 5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1 , a 2 , a 3 给出倒易 r r r r r r 点阵 b1 , b 2 , b3 现假定 b1 , b 2 , b3 为正点阵，则其
倒易点阵根据定义为：
2π r r c1 = * (b2 × b3 ) Ω u r u r ur u r u r ur ur u ru r 利用三重矢积公式： A × ( B × C ) = B( AgC ) − C ( Ag B )
五. 布里渊区： 第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有 倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原 点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点 的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面 与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类 推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。
于是：
ur uuu r uur uuu r 同理 G h1h2h3 gCB = 0 而且 CA, CB 都在（ABC)面上，
ur 所以 G h1h2h3 与晶面系 ( h1h2h3 ) 正交。
ur 晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 G h1h2h3 ⊥ ( ABC )
可以证明：
d h1h2h3
2π r r (2π )2 r 可以得到： r r 2π r r b 2 × b3 = ( a 3 × a1 ) × ( a1 × a 2 ) = a1 Ω Ω Ω
*
r r r r r 2 3 Ω ⋅ Ω = b g ( b × b ) ⋅ Ω = (2 π ) ( a g b ) = (2 π ) 1 2 3 1 1 又因为：
r 用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量，它必然满足方程： r ur
ur 由于布里渊区界面是某倒格矢 G 的垂直平分面，如果 1 2 k gG = G 2
该方程称作布里渊区的界面方程
正方点阵布里渊区
第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
四. 倒易点阵实例：
r r r r r r 显然 ： b1 ⊥ a 2 , a 3 , b 2 ⊥ a 3 , a1 , r r r b 3 ⊥ a1 , a 2 ,
倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我 v v 们通过具体实例来理解：根据右面定义， v a2 × a3